Используя первые производные, схематично начертить кривую : 1) Найти площадь фигуры, ограниченной петлей кривой . 2) Найти

Используя первые производные, схематично начертить кривую : 1) Найти площадь фигуры, ограниченной петлей кривой . 2) Найти объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси OY, ограниченной петлей кривой .

I способ:
Найдем точки пересечения кривой с осями координат OХ и OY:
с OХ: , тогда .
с OY: ,
тогда , , .
II способ:
Найдем точку самопересечения:
Из первого уравнения получим , подставим во второе уравнение:
,
отсюда ; ,
Найдем первые производные:
,
.
Приравняем к 0, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции:
, тогда .
, тогда , .
x(t) + 9/2 3/2 0 3/2 9/2 +
t –

–1
0
1

+
y(t) + 0 –1 0 1 0 –
Покрупнее:
1) Площадь фигуры, ограниченной петлей кривой .
.
В последнем равенстве используем равенство , т.к . это уравнение одной и той же кривой.
Для верхней части кривой (см. большую таблицу):
x(t) 0 9/2
t 0
Для нижней части кривой (см. большую таблицу):
x(t) 9/2 0
t 0
Поскольку фигура симметрична относительно оси ОХ, то можно найти площадь верхней половины и результат умножить на 2:

2) Объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси OY, ограниченной петлей кривой .
В последнем равенстве используем равенство , т.к

. это уравнение одной и той же кривой.
Для верхней части кривой (см. большую таблицу):
x(t) 0 9/2
t 0
Для нижней части кривой (см. большую таблицу):
x(t) 9/2 0
t 0
Поскольку фигура симметрична относительно оси ОХ, то можно найти площадь верхней половины и результат умножить на 2:

2) Объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси OY, ограниченной петлей кривой .
В последнем равенстве используем равенство , т.к