Как изменится однородное электрическое поле с напряженностью E0, если в него внести бесконечный проводящий

Как изменится однородное электрическое поле с напряженностью E0, если в него внести бесконечный проводящий цилиндр. Ось цилиндра направлена перпендикулярно направлению вектора E0. Найти изменение поля.

Пусть радиус цилиндра r0. Поскольку цилиндр проводящий, то потенциал электростатического поля внутри цилиндра r≤r0 равен нулю. Для потенциала ur,φ вне цилиндра r≤r0 в каждом сечении перпендикулярном цилиндру имеем следующую краевую задачу
Δu(r,φ)=0, r0≤r.
(1)
С граничными условиями на поверхности цилиндра
u(r0,φ)=0.
(2)
и на бесконечности (однородное поле)
u=-E0rcosφ, при r→∞.
(3)
Предварительно сведем краевую задачу к задаче с однородными условиями (3). Для этого представим ur,φ в виде
ur,φ=vr,φ-E0rcosφ.
(4)
где vr,φ возмущение электростатического поля, создаваемое цилиндром.
Учитывая, что функция -E0rcosφ гармоническая, для vr,φ получим следующую задачу
Δvr,φ=∆ur,φ+∆-E0rcosφ=0
Δv(r,φ)=0, r0<r.
(1')
v(r0,φ)=E0r0cosφ.
(2')
v(r,φ)→0, при r→∞.
(3')
Запишем уравнение Лапласа (1') для функции v в полярных координатах r0≤r, 0≤φ≤2π
1r∂∂rr∂v∂r+1r2∂2v∂φ2=0.
(5)
Решим задачу методом Фурье разделения переменных

. По физическому смыслу задачи решение периодическим по углу φ
vr,φ+2π=vr,φ.
(6)
Ищем решение уравнения (5) в виде
vr,φ=ZrΦφ.
Подставляем vr,φ в таком виде в (5). Учитывая, что Zr, Φφ – функции только одного аргумента, получим
ΦφrddrrdZrdr+Zrr2d2Φφdφ2=0.
Умножим уравнение на r2ZrΦφ
rZrddrrdZrdr+1Φφd2Φφdφ2=0,
rZrddrrdZrdr=-1Φφd2Φφdφ2=λ=const,
поскольку левая часть равенства – это функция только от r, а правая часть –только от φ.
В результате переменные разделяются, и получаем два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
Φ''(φ)+λΦφ=0,
(7)
r2Z''r+rZ'r-λZr=0.
(8)
Из условия периодичности (6) функции vr,φ следует периодичность функции Φφ
Φφ+2π=Φφ,
Общее решение уравнения (7) имеет вид
Φφ=C1cosλφ+C2 sinλφ.
Из условия периодичности следует, что λ=n, n=0,1,2,…
Получили следующую систему собственных функций
Φnφ=Ancosnφ+Bn sinnφ, n=1,2,…
Φ0φ=A0
Уравнение (8) при n>0 имеет вид
r2Zn''r+rZn'r-n2Znr=0.
Это уравнение Эйлера второго порядка, его решение ищем в виде Znr~rα