Каждая сторона треугольника разделена на три части в отношении 3:2:3. Найти отношение площади шестиугольника,

Каждая сторона треугольника разделена на три части в отношении 3:2:3. Найти отношение площади шестиугольника, вершинами которого служат точки деления, к площади треугольника. Дано: ∆ABC; A2,B1∈AB; AA2:A2B1:B1B=3:2:3; B2,C1∈BC; BB2:B2C1:C1C=3:2:3; C2,A1∈CA; CC2:C2A1:A1A=3:2:3. Найти: SA1A2B1B2C1C2SABC=?

1) Обозначим:
AB=8c;BC=8a;CA=8b.
Тогда:
AA2=3с; A2B1=2c; B1B=3c;
BB2=3a; B2C1=2a; C1C=3a;
CC2=3b; C2A1=2b; A1A=3b.
2) ∆A1AA2~∆CAB по двум сторонам и углу между ними:∠A – общий; а прилежащие стороны пропорциональны:
A1A:A2A=3b3c=bc и CA:BA=8b8c=bc⇒A1A:A2A=CA:BA.
3) В подобных треугольниках отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:
k=AA2AB=3c8c=38;
SA1AA2SABC=k2=382=964⇒SA1AA2=964SABC.
Аналогично можно доказать, что:
SB1BB2=SC1CC2=964SABC.
4) Площадь шестиугольника равна:
SA1A2B1B2C1C2=SABC-SA1AA2+SB1BB2+SC1CC2=SABC-3∙964SABC=SABC-2764SABC=
=SABC1-2764=3764SABC.
Отсюда:
SA1A2B1B2C1C2SABC=3764.
Ответ: 3764.