Кусок металла с температурой 6℃ помещен в печь, температура которой равна 300℃. При разности

Кусок металла с температурой 6℃ помещен в печь, температура которой равна 300℃. При разности температур печи и металла в T градусов металл нагревается со скоростью 120T градусов в минуту. Найти температуру тела через 40 мин.

Согласно условию имеем
y'=kh-y
где y=Tм – температура металла;
h=Tп=300 – температура печи;
k=120 – коэффициент теплообмена.
Таким образом, дифференциальное уравнение можно записать в виде:
y'=120∙300-y
y'+120y=36000
Это уравнение вида:
y'+Pty=Qt
где Pt=120 и Qt=36000
Решим соответствующее линейное однородное уравнение y'+Pty=0.
Данное уравнение решается как уравнение с разделяющимися переменными:
dydt=-120y
dyy=-120dt
dyy=-120dt
lny=-120t+C
y=Ce-120t
Теперь для нахождения общего решения исходного линейного неоднородного уравнения используем метод вариации произвольных постоянных, т.е . ищем это решение в виде
yt=Cte-120t
y't=C'te-120t-120Cte-120t
Подставим выражение в исходное уравнение и в итоге получаем
C'te-120t-120Cte-120t+120Cte-120t=36000
C'te-120t=36000
C't=36000e120t
Восстановим функции интегрированием
Ct=36000e120tdt=36000e120tdt=
=36000120e120td120t=300e120t+C1
Подставляем Ct в yt и получаем окончательный ответ:
yt=300e120t+C1e-120t
yt=300+C1e-120t
Зная, что в начальный момент времени температура куска металла равна 6℃, то есть y0=6, вычислим значение произвольной постоянной:
300+C1e-120∙0=6
C1=-294
В результате получаем:
yt=300-294e-120t
Определим температуру куска металла через 40 мин.:
y40=300-294e-120∙40=300-294∙e-4800≈300

. ищем это решение в виде
yt=Cte-120t
y't=C'te-120t-120Cte-120t
Подставим выражение в исходное уравнение и в итоге получаем
C'te-120t-120Cte-120t+120Cte-120t=36000
C'te-120t=36000
C't=36000e120t
Восстановим функции интегрированием
Ct=36000e120tdt=36000e120tdt=
=36000120e120td120t=300e120t+C1
Подставляем Ct в yt и получаем окончательный ответ:
yt=300e120t+C1e-120t
yt=300+C1e-120t
Зная, что в начальный момент времени температура куска металла равна 6℃, то есть y0=6, вычислим значение произвольной постоянной:
300+C1e-120∙0=6
C1=-294
В результате получаем:
yt=300-294e-120t
Определим температуру куска металла через 40 мин.:
y40=300-294e-120∙40=300-294∙e-4800≈300