На струне, закрепленной с обоих концов, устанавливается стоячая волна с основной частотой 200гц. Расстояние

На струне, закрепленной с обоих концов, устанавливается стоячая волна с основной частотой 200гц. Расстояние между соседними узлом и пучностью второй гармоники равно 5 см.Чему равна скорость распространения волны? Ответ пояснить рисунком Дано: 1 = 200 Гц x = 5 см = 0,05 м y(0,t) = y(L,t)

Рассмотрим образование стоячей волны в струне длиной L.
Y
x
L
0
v –?
Известно, что для поперечных смещений струны выполняется волновое уравнение:
∂2y∂x2=1v2∂2y∂t2
Здесь v – скорость распространения волны.
Будем рассматривать только гармонические волны. Тогда общее решение волнового уравнения имеет вид:
yx,t=Acost-kx+Bcost+kx.
Здесь – круговая частота; k – волновое число:
k=v=2;
– длина распространяющейся волны.
Это выражение представляет собой суперпозицию двух гармонических волн одинаковой частоты, бегущих навстречу друг другу.
Используем условие, что начало струны закреплено:
y0,t=Acost+Bcost=0.
Отсюда следует:
B=-A;
yx,t=Acost-kx-Acost+kx.
Выполнив сложение тригонометрических функций, получим уравнение стоячей волны в виде:
yx,t=2Asinkxsint.
Колебания струны, описываемые последним выражением, называются стоячими волнами

. Видно, что стоячая волна может быть получена как сумма (интерференция) двух гармонических бегущих волн, имеющих равную амплитуду и частоту, движущихся навстречу друг другу
Как видно из последнего выражения, точки для которых sinkx=0,
всегда неподвижны, они называются узлами. Координаты узлов определяются выражением:
kxm min=m;
где m = 0, 1, 2…n. Число n определено ниже.
xm min=m2.
Точки, для которых sinkx=1, амплитуда колебаний максимальна, поэтому они называются пучностями