Определить диаметр вала из расчета на прочность и жесткость, если Т=2 кН∙м; l=0,3 м;

Определить диаметр вала из расчета на прочность и жесткость, если Т=2 кН∙м; l=0,3 м; [τ]=60 МПа; [θ]=0,6 град/м; G=8∙104 МПа. Определить угол поворота свободного сечения. Рисунок 1 – Схема вала

В защемлении возникает опорный момент (рис. 2, а), вычислять который нет необходимости, поскольку внутренние усилия станем определять, рассматривая брус со свободного конца. Методом сечений находим внутренние усилия на каждом из участков, составляя сумму моментов относительно продольной оси вала.
ТI = - Т = - 2 кН·м;
TII = -Т + 6T = -2 + 6·2 = 10 кН·м;
TIII = -Т + 6T = -2 + 6·2 = 10 кН·м;
TIV = -Т + 6T – 2T= -2 + 6·2 - 2·2 = 6 кН·м.
Строим эпюру крутящего момента (рис. 2, б).
Условие прочности вала:
,
где T – крутящий момент, действующий в сечении, кН·м;
– полярный момент сопротивления, мм3;
для круглого сечения
- допускаемое напряжение, МПа.
Рисунок 2 - Схема нагружения ступенчатого вала (а), эпюра внутренних усилий (б), эпюра напряжений (в), эпюра углов закручивания сечений (г)
Определим касательные напряжения, действующие на участках вала:
;
;
;
.
В нашем случае набольшее касательное напряжение, действует в сечении IV, тогда из условия прочности диаметр вала:
79,86 мм.
Условие жесткости вала:
,
где θ – удельный угол закручивания, град;
Т – крутящий момент, действующий в сечении, кН·м;
– полярный момент инерции сечения, мм4;
для круглого сечения
,
[θ] – допускаемый удельный угол закручивания, град/м;
Определим удельные углы закручивания, действующие на участках вала:
;
;
;
.
В нашем случае набольший удельный угол закручивания, действует в сечении IV, тогда из условия жесткости диаметр вала:
92,42 мм.
По условию жёсткости требуется больший диаметр вала, чем по условию прочности