По предоставленным данным аппроксимировать статистическую зависимость величины Y от X и Z функцией вида

По предоставленным данным аппроксимировать статистическую зависимость величины Y от X и Z функцией вида y=ax+bz+c. Вычислить остаточную дисперсию и оценку обобщенного коэффициента корреляции. X 1,2 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 2,1 2,2 2,3 2,4 2,6 2,6 2,7 Z 2,1 3,5 2,6 1,3 2,2 1,8 1,5 1,9 1,4 2,5 1,7 2,1 1,6 1,5 2,3 Y 4,8 7,7 6,1 3,6 5,6 4,6 4,4 5,1 4,4 6,5 5,2 5,7 5,3 4,8 6,3

Найдем a и b по методу МНК из системы уравнений:
ax2+bxz+cx=xyaxz+bz2+cz=zyax+bz+cn=y,
где n=15 – количество уровней ряда.
58,58a+55,73b+28,6c=152,8455,73a+64,66b+30c=167,8528,6a+30b+15c=80,1
Вспомогательные расчеты для решения задачи:
∑
x
1,2 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 2,1 2,2 2,3 2,4 2,6 2,6 2,7 28,6
x2
1,44 1,44 1,69 1,96 2,25 2,56 2,89 3,24 4,41 4,84 5,29 5,76 6,76 6,76 7,29 58,58
z
2,1 3,5 2,6 1,3 2,2 1,8 1,5 1,9 1,4 2,5 1,7 2,1 1,6 1,5 2,3 30
z2
4,41 12,25 6,76 1,69 4,84 3,24 2,25 3,61 1,96 6,25 2,89 4,41 2,56 2,25 5,29 64,66
xz
2,52 4,2 3,38 1,82 3,3 2,88 2,55 3,42 2,94 5,5 3,91 5,04 4,16 3,9 6,21 55,73
y
4,8 7,7 6,1 3,6 5,6 4,6 4,4 5,1 4,4 6,5 5,2 5,7 5,3 4,8 6,3 80,1
y2
23,04 59,29 37,21 12,96 31,36 21,16 19,36 26,01 19,36 42,25 27,04 32,49 28,09 23,04 39,69 442,35
xy
5,76 9,24 7,93 5,04 8,4 7,36 7,48 9,18 9,24 14,3 11,96 13,68 13,78 12,48 17,01 152,84
zy
10,08 26,95 15,86 4,68 12,32 8,28 6,6 9,69 6,16 16,25 8,84 11,97 8,48 7,2 14,49 167,85
Решим систему по правилам Крамера:
∆=58,5855,7328,655,7364,663028,63015≈250,63;
∆a=152,8455,7328,6167,8564,663080,13015≈176,79;
∆b=58,58152,8428,655,73167,853028,680,115≈467,22
∆c=58,5855,73152,8455,7364,66167,8528,63080,1≈66,87.
Получим:
a=∆a∆=176,79250,63≈0,71; b=∆b∆=467,22250,63≈1,86; c=∆c∆=66,87250,63≈0,27.
Уравнение аппроксимации: y=0,71x+1,86z+0,27.
y
4,8 7,7 6,1 3,6 5,6 4,6 4,4 5,1 4,4 6,5 5,2 5,7 5,3 4,8 6,3
y
5,03 7,63 6,03 3,68 5,43 4,75 4,27 5,08 4,37 6,48 5,07 5,88 5,09 4,91 6,47 ∑
y-y2
0,05 0,00 0,01 0,01 0,03 0,02 0,02 0,00 0,00 0,00 0,02 0,03 0,04 0,01 0,03 0,27
Sост2=y-y215-3=0,2715-3≈0,023.
Рассчитаем парные коэффициенты корреляции:
ryx=nxy-xynx2-x2∙ny2-y2=
=15∙152,84-28,6∙80,115∙58,58-28,62∙15∙442,35-80,12≈0,015;
ryz=nzy-zynz2-z2∙ny2-y2=
=15∙167,85-30∙80,115∙64,66-302∙15∙442,35-80,12≈0,592;
rxz=nzx-xznz2-z2∙nx2-x2=
=15∙55,73-28,6∙3015∙64,66-302∙15∙58,58-28,62≈-0,163.
Найдем:
- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции
∆r=1ryxryzryx1rxzryzrxz1=10,0150,5920,0151-0,1630,592-0,1631=0,62;-определитель матрицы межфакторной корреляции:
∆rxz=1rxzrxz1=1-0,163-0,1631≈0,973.
Тогда обобщенный коэффициент корреляции:
ry|xz=1-∆r∆rxz=1-0,620,973≈0,702.
Найденное значение указывает на высокую степень тесноты и линейности корреляционной зависимости.
Значимость ry|xz оценивается с помощью F - критерия Фишера:
Fнабл=ry|xz21-ry|xz2∙15-2-12=0,70221-0,7022∙15-2-12≈5,83.
По таблице F - критерия Фишера найдем критическое значение критерия Fкр(α,k1,k2) при заданном уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы k1=2, k2=15-2-1=12: Fкр=3,88