Подпространство в L5 задана в некотором базисе как линейная оболочка векторов с координатными столбцами

Подпространство в L5 задана в некотором базисе как линейная оболочка векторов с координатными столбцами (0, 0, 1, 1, 1)T, (0, 1, 0, 0, 1)T. Найти в том же базисе координатные строки всех линейных функций, обращающихся в 0 на этом подпространстве.

Не теряя общности можно считать базисом в L5:
B={(1, 0, 0, 0, 0)T, (0, 1, 0, 0, 0)T, (0, 0, 1, 0, 0)T, (0, 0, 0, 1, 0)T, (0, 0, 0, 0, 1)T}.
Обозначим B=e1, e2, e3, e4, e5. Тогда произвольный вектор x∈L5 запишется x=x1e1+x2e2+x3e3+x4e4+x5e5=(x1, x2, x3, x4, x5)T. Линейная оболочка ⊂L5 имеет вид:
x∈L5x=ξ1(0, 0, 1, 1, 1)T+ξ2(0, 1, 0, 0, 1)T=(0, ξ2, ξ1, ξ1, ξ1+ξ2)T=ξ2e2+ξ1e3+ξ1e4+ξ1+ξ2e5
Тогда для произвольной линейной функции f из рассматриваемых нами выполнено условие:
fξ2e2+ξ1e3+ξ1e4+ξ1+ξ2e5=0.
В силу линейности f
fξ2e2+ξ1e3+ξ1e4+ξ1+ξ2e5=ξ2fe2+ξ1fe3+ξ1fe4+ξ1+ξ2fe5=0.
Обозначим fe2=a2, fe3=a3, fe4=a4, fe5=a5, тогда
ξ2fe2+ξ1fe3+ξ1fe4+ξ1+ξ2fe5=ξ2a2+ξ1a3+ξ1a4+ξ1+ξ2a5=0,
ξ2a2+ξ1a3+ξ1a4+ξ1a5+ξ2a5=0,
ξ1a3+a4+a5+ξ2a2+a5=0.
В силу произвольности x, а значит и 1, 2 получаем
a3+a4+a5=0,a2+a5=0,⇔a4=a2-a3,a5=-a2.
Таким образом, координатная строка произвольной линейной функции из рассматриваемых нами имеет вид a1, a2, a3, a2-a3, -a2, где a1, a2, a3 — произвольные числа.
В приведённых ответах обозначены fe1=c1, fe2=c3, fe4=c2 и тогда fe3=c3-c2, fe5=-c3