Получить в явном виде решение задачи минимизации издержек фирмы, использующей два вида затрат, с

Получить в явном виде решение задачи минимизации издержек фирмы, использующей два вида затрат, с производственной функцией: , с фиксированным уровнем выпуска K и заданными ценами на затраты и . Указания: использовать теорему Лагранжа. Проанализировать свойства решения.

Пусть – вектор затрат, – вектор цен.
Математическая модель задачи минимизации издержек фирмы:
Найти
при условиях:
Для решения используем метод множителей Лагранжа.
Функция Лагранжа имеет вид:
.
Необходимые условия существования экстремума (сначала в общем виде):
и - предельные продукты (1) и (2),
и - предельные издержки выпуска дополнительной единицы.
Из 1-го и 2-го уравнения системы получаем:
– предельная норма технологического замещения.
Подставляя , получаем
1-е и 2-е уравнение преобразуем, делим одно на другое и переходим ук двум уравнениям относительно переменных