Построить кривую второго порядка: 13x2-48xy+27y2+5x+35y-45=0

Построить кривую второго порядка: 13x2-48xy+27y2+5x+35y-45=0

Запишем квадратичную форму:
Фx,y=13x2-48xy+27y2
Матрица квадратичной формы:
A=13-24-2427
Найдем собственные значения:
A-λE=0
13-λ-24-2427-λ=0
13-λ27-λ-576=0
λ2-40λ+351-576=0
λ2-40λ-225=0
D=1600+900=2500
λ1=40-502=-5 λ2=40+502=45
Найдем собственные значения:
λ1=-5
18-24-2432X=0
18-24-2432~Умножим первую строку на 43 и сложим со второй
18-2400
18x1-24x2=0 => x1=43x2 f1=43;1
λ2=45
-32-24-24-18X=0
-32-24-24-18~Умножим первую строку на -34 и сложим со второй
-32-2400
-32x1-24x2=0 => x1=-34x2 f2=-34;1
Нормируем собственные вектора:
f1=169+1=53 e1=f1f1=45;35
f2=916+1=54 e2=f2f2=-35;45
Матрица перехода:
T=45-353545
x=45x'-35y'y=35x'+45y'
Подставим значения в уравнение кривой второго порядка:
1345x'-35y'2-4845x'-35y'35x'+45y'+2735x'+45y'2+545x'-35y'+
+3535x'+45y'-45=0
20825(x')2-31225x'y'+11725(y')2-57625(x')2-33625x'y'+57625(y')2+
+24325(x')2+64825x'y'+43225(y')2+4x'-3y'+21x'+28y'-45=0
-5(x')2+45(y')2+25x'+25y'-45=0
(x')2-9(y')2-5x'-5y'+9=0
(x')2-2∙52x'+254-254-9(y')2+518∙2y'+25324+2536+9=0
x'-522-9y'+5182=-319
y'+51823181-x'-522319=1
x''=y'+518y''=x'-52
x''23181-y'2319=1
Получили каноническое уравнение гиперболы.