Представьте комплексное число z в тригонометрической и показательной формах. Используя тригонометрическую форму комплексного числа

Представьте комплексное число z в тригонометрической и показательной формах. Используя тригонометрическую форму комплексного числа z, вычислите zn и найдите все значения корня 3z. z=-3+3i, n=16

Представим комплексное число -3+3i в тригонометрической форме.
Здесь x=-3<0,y=3>0, r=-32+32=6,
φ=arctgyx=arctg3-3=arctg-1=π-π4=3π4.
Точка, изображающая число лежит во второй четверти
Поэтому тригонометрическая форма комплексного числа
z=-3+3i=6cos3π4+isin3π4
Находим показательную форму комплексного числа
z=zeiφ=6e3π4i
Для того чтобы вычислить z16 воспользуемся формулой Муавра:
zn=rn(cos(nφ)+i⋅sin(nφ))
-3+3i16=68cos16∙3π4+isin16∙3π4=68=1679616.
Используя формулу
nz=nzcosφ+2πkn+isinφ+2πkn, k=0,1,…(n-1)
находим:
3z=36cos3π4+isin3π4
=66cos3π4+2πk3+isin3π4+2πk3, где k=0,1,2
Полагая k=0,1 получим:
z0=66cosπ4+isinπ4=eπ4i
z1=66cos11π12+isin11π12=66e11π12i
z2=66cos19π12+isin19π12=66e19π12i
Заметим, что точки комплексной плоскости, соответствующие полученным корням, расположены на окружности с центром в точке O и радиуса66 и делят эту окружность на три равные дуги.