Процесс скользящего среднего MA(1) описывается уравнением: X(t) = 10 + e(t) + 0,5*e(t-1), e(t)~WN(0, 1) Записать

Процесс скользящего среднего MA(1) описывается уравнением: X(t) = 10 + e(t) + 0,5*e(t-1), e(t)~WN(0, 1) Записать математическое ожидание, дисперсию, с.к.о., ковариационную и корреляционную функции процесса X(t). Пусть e(0)=5, построить точечный и интервальный (уровень надежности 0,99) прогноз для моментов времени t=1, 2, 3.

Находим математическое ожидание процесса:
mxt=M10 + et+ 0,5et-1=10+Me(t)+0,5Met-1=Mtet=MWN0,t=0Mtet-1=MWN0,t-1=0=10
Дисперсия:
Dxt=D10 + et+ 0,5et-1=
=Det+0,52Det-1+2covet,0,5et-1=Dtet=t=
=t+0,25t-1+covet,et-1=cosWt,Ws=mint,s=
=t+0,25t-1+t-1=2,25t-1,25
Соответственно, среднее квадратичное отклонение:
σxt=2,25t-1,25
Найдем центрированный процесс:
xt=xt-mxt=et+ 0,5et-1
Тогда корреляционная функция процесса:
Kxt1,t2=Met1+0,5et1-1et2+0,5et2-1=
=Met1et2+0,25Met1-1et2-1+0,5Met1et2-1+0,5Met2et1-1=
=mint1,t2+0,25mint1-1,t2-1+0,5mint1,t2-1+0,5mint2,t1-1
=mint1-1,t2-1=mint1,t2-1=
=1,25mint1,t2+0,5mint1,t2-1+0,5mint2,t1-1-0,25
Как видим:
Dxt=Kxt,t=1,25t+0,5t-1+0,5t-1-0,25=2,25t-1,25
совпадает с вычисленным ранее значением дисперсии.
Находим корреляционную функцию процесса:
ρxt1,t2=Kxt1,t2Dxt1Dxt2=
=1,25mint1,t2+0,5mint1,t2-1+0,5mint2,t1-1-0,252,25t1-1,252,25t2-1,25
Пусть e(0)=5