Рассматривая в Дебаевском приближений твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн

Рассматривая в Дебаевском приближений твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн установить функцию распределения частот g() для кристалла с трехмерной кристаллической решеткой. При выводе принять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N – число атомов в рассматриваемом объеме)

Z=3N
Фононную плотность состояний можно рассчитать из периодичности решетки в 2д кристалле. Если кристалл в форме куба с гранями длиной L, тогда плотность состояний в единице объеме в K-пространстве L2π3 . Количество состояний фононов n в сфере радиусом K тогда:
n=4π3K3L2π3
След-но количество состояний фононов в сферической оболочке радиуса K и толщины dk:
dn=4πK2dKV2π3
Количество мод вибраций между K и dK, соответствует количеству мод вибраций между частотами w и dw так что
gwdw=V2π2v3w2dw
Каждый атом испытывает 3 моды вибрации, следно g(w) может быть записана:
gw=3N2π2v3w2=Aw2
Где A=3N2π2v3
Функция gw должна удовлетворять:
0wDgwdw=3N
Тогда:
A=9NwD3
И gw=9NwD3w2
Ответ: gw=9NwD3w2

. Количество состояний фононов n в сфере радиусом K тогда:
n=4π3K3L2π3
След-но количество состояний фононов в сферической оболочке радиуса K и толщины dk:
dn=4πK2dKV2π3
Количество мод вибраций между K и dK, соответствует количеству мод вибраций между частотами w и dw так что
gwdw=V2π2v3w2dw
Каждый атом испытывает 3 моды вибрации, следно g(w) может быть записана:
gw=3N2π2v3w2=Aw2
Где A=3N2π2v3
Функция gw должна удовлетворять:
0wDgwdw=3N
Тогда:
A=9NwD3
И gw=9NwD3w2
Ответ: gw=9NwD3w2