Рассмотрите фирму, которая производит готовую продукцию, используя два фактора производства, труд и капитал согласно

Рассмотрите фирму, которая производит готовую продукцию, используя два фактора производства, труд и капитал согласно производственной функции y = f (K, L). Покажите, что спрос на труд не возрастает при увеличении ставки заработной платы. (В задаче не предполагается дифференцируемость производственной функции.)

Согласно слабой аксиоме минимизации издержек (weak axiom of cost minimization WACM) спрос фирмы на труд с ростом заработной платы не возрастёт.
Пусть на два фактора производства (труд и капитал) известны два набора цен и связанные с ними количества факторов:
и , и .
Предположим также, что с помощью каждой из этих выбранных комбинаций факторов производится один и тот же объем выпуска у . Если каждая выбранная комбинация факторов есть комбинация, минимизирующая издержки при соответствующих ценах, то должно соблюдаться следующее:

и
.
Тогда из 2-го неравенства:
.
Сложив с 1-м и перегруппировав результат, получаем:
или
.
По условию цена на капитал не меняется, то есть , тогда предыдущее неравенство станет таким:
,
а отсюда следует, что при росте цены фактора 1 (труда), то есть при , спрос на фактор 1 (на труд) должен остаться прежним или сократиться (не возрастать), то есть .

. Если каждая выбранная комбинация факторов есть комбинация, минимизирующая издержки при соответствующих ценах, то должно соблюдаться следующее:

и
.
Тогда из 2-го неравенства:
.
Сложив с 1-м и перегруппировав результат, получаем:
или
.
По условию цена на капитал не меняется, то есть , тогда предыдущее неравенство станет таким:
,
а отсюда следует, что при росте цены фактора 1 (труда), то есть при , спрос на фактор 1 (на труд) должен остаться прежним или сократиться (не возрастать), то есть .