Следующую теорему записать в виде формулы алгебры высказываний. Сформулировать обратное, противоположное, противоположное обратному утверждение.

Следующую теорему записать в виде формулы алгебры высказываний. Сформулировать обратное, противоположное, противоположное обратному утверждение. Указать, какие из них являются теоремами? Сформулировать теорему с использованием выражений «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»: «Вертикальные углы равны».

Выделим простые высказывания:
А=«углы являются вертикальными»,
В=«углы равны».
Тогда исходная теорема в символической форме запишется следующим образом:
,
т.е. «Если углы вертикальные, то они равны».
Обратное утверждение в символической форме имеет вид , т.е.
«Если углы равны, то они вертикальные».
Это утверждение не является теоремой, поскольку существуют два угла, которые равны, но не являются вертикальными. Например, можно рассмотреть два угла при основании равнобедренного треугольника.
Противоположное утверждение в символической форме имеет вид , т.е.
«Если углы не вертикальные, то они не равны».
Это утверждение не является теоремой, поскольку существуют два угла, которые не являются вертикальными, но не являются равными . Например, можно также рассмотреть два угла при основании равнобедренного треугольника.
Противоположное обратному утверждение в символической форме имеет вид , т.е.
«Если углы не равны, то они не вертикальные».
Это утверждение является теоремой, поскольку два не равных угла не могут быть вертикальными.
Сформулируем теорему с использованием выражений «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»:
«Для того, чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны».
«Для того, чтобы углы были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными».
Ответ: обратное утверждение: «Если углы равны, то они вертикальные» – оно не является теоремой;
противоположное утверждение: «Если углы не вертикальные, то они не равны» – оно не является теоремой;
противоположное обратному утверждение: «Если углы не равны, то они не вертикальные» – оно является теоремой;
формулировка теоремы с использованием выражений «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»:
«Для того, чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны»
и
«Для того, чтобы углы были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными».

. Например, можно также рассмотреть два угла при основании равнобедренного треугольника.
Противоположное обратному утверждение в символической форме имеет вид , т.е.
«Если углы не равны, то они не вертикальные».
Это утверждение является теоремой, поскольку два не равных угла не могут быть вертикальными.
Сформулируем теорему с использованием выражений «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»:
«Для того, чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны».
«Для того, чтобы углы были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными».
Ответ: обратное утверждение: «Если углы равны, то они вертикальные» – оно не является теоремой;
противоположное утверждение: «Если углы не вертикальные, то они не равны» – оно не является теоремой;
противоположное обратному утверждение: «Если углы не равны, то они не вертикальные» – оно является теоремой;
формулировка теоремы с использованием выражений «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»:
«Для того, чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны»
и
«Для того, чтобы углы были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными».