Составьте арифметические выражения для программирования динамического звена, описываемого дифференциальным уравнением и получить значение y[2]

Составьте арифметические выражения для программирования динамического звена, описываемого дифференциальным уравнением и получить значение y[2] после второго цикла работы контроллера. Входной сигнал представляет собой единичное ступенчатое воздействие. Дифференциальное уравнение динамического звена: a2⋅d2ydt2+a1⋅dydt+a0⋅y=b2⋅d2xdt2+b1⋅dxdt+b0⋅x. Исходные данные: a2=0, a1=0.5, a0=0.1, b2=0, b1=0.4, b0=1, Δt=10 мс.

Подставим численные значения коэффициентов в дифференциальное уравнение:
0⋅d2ydt2+0.5⋅dydt+0.1⋅y=0⋅d2xdt2+0.4⋅dxdt+1⋅x.
В итоге получим дифференциальное уравнение следующего вида:
0.5⋅dydt+0.1⋅y=0.4⋅dxdt+x.
Перейдём от дифференциального уравнения к разностному уравнению.
Так как первая разность представляет собой
Δyn=yn-yn-1.
То получим разностное уравнение нашего динамического звена:
0.5Δt⋅yn-yn-1+0.1⋅yn=0.4Δt⋅xn-xn-1+x[n].
Подставим численные значения для Δt:
0.510⋅10-3⋅yn-yn-1+0.1⋅yn=0.410⋅10-3⋅xn-xn-1+x[n].
После преобразований, получаем, что
50.1⋅yn=50⋅yn-1+41⋅xn-40⋅xn-1.
Откуда, получаем, что
yn=0.998⋅yn-1+0.818xn-0.798xn-1.
Для выполнения этого алгоритма в контроллере потребуются ячейки памяти с переменными xn, xn-1, yn-1, yn, а также с коэффициентами 0.998, 0.818 и 0.798.
Запишем уравнения для реализации алгоритма:
yn:=0.998⋅yn-1+0.818xn-0.798xn-1;
yn-1≔yn;
xn-1≔xn.
Поскольку входной сигнал x(t) представляет собой единичное ступенчатое воздействие, то в первом цикле: xn-1=0, xn=1.
Вычислим значение y1 при единичном воздействии:
y1=0.998⋅0+0.818⋅1-0.798⋅0=0.818.
Тогда значение y2 равно:
y2=0.998⋅0.819+0.818⋅1-0.798⋅1=0.837.