Сравнение различных систем массового обслуживания 1. Сравните по основным характеристикам (вероятность отказа, пропускная способность) систему

Сравнение различных систем массового обслуживания 1. Сравните по основным характеристикам (вероятность отказа, пропускная способность) систему массового обслуживания с двумя обслуживающими серверами (рис. 5.1 слева) и систему массового обслуживания с одним обслуживающим сервером, но с удвоенной производительностью (рис. 5.1 справа). Все системы с отказами. Рис. 5.1. Сравнение одноканальной и многоканальной СМО с отказами

1. Система массового обслуживания с отказами с двумя обслуживающими серверами.
Граф состояний СМО имеет вид:
Записываем выражения для вероятностей состояний:
P1=λμP0=ρP0
P2=λ2μP1=ρ22P0
Исходя из условия нормировки, находим вероятность отсутствия заявок в системе:
P0=11+ρ+ρ22=22+2ρ+ρ2
Тогда вероятность отказа для двухканальной СМО составит:
Pотк,µ=P2=ρ22P0=ρ22+2ρ+ρ2
А относительная пропускная способность:
Q=1-Pотк=1-ρ22+2ρ+ρ2=2+2ρ2+2ρ+ρ2
2 . Система массового обслуживания с отказами с одним обслуживающим сервером, но с удвоенной производительностью.
Граф состояний СМО имеет вид:
Записываем выражение для вероятностей состояния S1:
P1=λ2μP0=ρ2P0
Исходя из условия нормировки, находим вероятность отсутствия заявок в системе:
P0=11+ρ2=22+ρ
Тогда вероятность отказа для одноканальной СМО с удвоенной производительностью:
Pотк,2µ=P1=ρ2P0=ρ2+ρ
А относительная пропускная способность:
Q=1-Pотк=1-ρ2+ρ=22+ρ
Чтобы сравнить две рассмотренные системы по качеству обслуживания заявок, найдем разность между вероятностями отказов в СМО с удвоенной производительностью и СМО с двум серверами:
Pотк,2µ-Pотк,µ=22+ρ-ρ22+2ρ+ρ2=ρ2+2ρ+ρ2-ρ22+ρ2+2ρ2+2ρ+ρ2=
=2ρ2+2ρ2+2ρ+ρ2>0
Как видим, вероятность отказа в системе с одним сервером (пусть и удвоенной производительностью) больше, чем в системе с двумя серверами (а пропускная способность, как следствие – меньше), что говорит о том, что система с двумя серверами является более предпочтительной, чем системе с удвоенной производительностью, но с одним сервером.

. Система массового обслуживания с отказами с одним обслуживающим сервером, но с удвоенной производительностью.
Граф состояний СМО имеет вид:
Записываем выражение для вероятностей состояния S1:
P1=λ2μP0=ρ2P0
Исходя из условия нормировки, находим вероятность отсутствия заявок в системе:
P0=11+ρ2=22+ρ
Тогда вероятность отказа для одноканальной СМО с удвоенной производительностью:
Pотк,2µ=P1=ρ2P0=ρ2+ρ
А относительная пропускная способность:
Q=1-Pотк=1-ρ2+ρ=22+ρ
Чтобы сравнить две рассмотренные системы по качеству обслуживания заявок, найдем разность между вероятностями отказов в СМО с удвоенной производительностью и СМО с двум серверами:
Pотк,2µ-Pотк,µ=22+ρ-ρ22+2ρ+ρ2=ρ2+2ρ+ρ2-ρ22+ρ2+2ρ2+2ρ+ρ2=
=2ρ2+2ρ2+2ρ+ρ2>0
Как видим, вероятность отказа в системе с одним сервером (пусть и удвоенной производительностью) больше, чем в системе с двумя серверами (а пропускная способность, как следствие – меньше), что говорит о том, что система с двумя серверами является более предпочтительной, чем системе с удвоенной производительностью, но с одним сервером.