20 % бесповторная типическая проверка качества продукции на складских помещениях супермаркета показала, что на

20 % бесповторная типическая проверка качества продукции на складских помещениях супермаркета показала, что на площадке алкогольной продукции из 400 проверенных коробок 15 % содержали продукцию, не соответствующую предъявляемым требованиям по качеству. На складе мясной продукции из 140 образцов 7 оказались с просроченным сроком хранения. На складе молочной продукции проверенные 100 образцов оказались наполовину некачественными. С вероятностью 0,954 определите границы доли некачественной продукции на проверенных площадках.

Выборка бесповторная, составляющая 20% всей совокупности, т.е. nN=0.2.
На площадке алкогольной продукции проверено n=400 коробок, из них доля некачественной продукции ω=0.15.
Средняя ошибка для доли равна
μx=ω1-ωn1-nN=0.15∙0.85400∙0.8≈0.016.
Предельная ошибка выборки:
∆=tμx,
где t – коэффициент доверия, по таблице значений функций Лапласа для доверительной вероятности 0,954 имеем t=2.0.
∆=2∙μx=0.032
Значит, доля некачественной алкогольной продукции:
ω-∆<w<ω+∆
0.15-0.032<w<0.15+0.032
0.118<w<0.182
Аналогично считаем для мясной продукции:
ω=7140=0.05-доля просроченой продукции, n=140
Средняя ошибка для доли равна
μx=ω1-ωn1-nN=0.05∙0.95140∙0.8≈0.0165.
Предельная ошибка выборки:
∆=tμx=2∙0.0184=0.033,
Значит, доля некачественной мясной продукции:
ω-∆<w<ω+∆
0.05-0.033<w<0.05+0.033
0.017<w<0.083
Аналогично считаем для молочной продукции:
ω=0.5-доля некачественной продукции, n=100
Средняя ошибка для доли равна
μx=ω1-ωn1-nN=0.5∙0.5100∙0.8=0.0447.
Предельная ошибка выборки:
∆=tμx=2∙0.05=0.0894,
Значит, доля некачественной мясной продукции:
ω-∆<w<ω+∆
0.5-0.0894<w<0.5+0.0894,
0.4106<w<0.5894
Рассмотрим всю совокупность в целом:
Рассчитаем среднюю долю некачественной продукции
ω=400∙0.15+140∙0.05+100∙0.5400+140+100≈0.1828
ω1-ω=0.15∙0.85∙400+0.05∙0.95∙140+0.5∙0.5∙100640=0.1291
Средняя ошибка для доли равна
μx=ω1-ωn1-nN=0.1291∙1-0.1291640∙0.8=0.0127.
Предельная ошибка выборки:
∆=tμx=2∙0.0127=0.0254,
Значит, доля некачественной продукции:
ω-∆<w<ω+∆
0.1828-0.0254<w<0.1828+0.0254,
0.1574<w<0.2082
Ответ: с доверительной вероятностью 0,954 доля некачественной продукции находится в пределах:
(0,118; 0,182) для алкогольной продукции;
(0,017; 0,083) для мясной продукции;
(0,4106; 0,5894) для молочной продукции.
Для продукции на всех площадках доля некачественной продукции с вероятностью 0,954 находится в пределах (0,1574; 0,2082).