43 48 44 43 44 46,5 42 40,5 42,5 43 40,5 43,5 38,5 40,5 44 45,5

43 48 44 43 44 46,5 42 40,5 42,5 43 40,5 43,5 38,5 40,5 44 45,5 41,5 40 40 46,5 43 42 46 44 40,5 40 38 37,5 38,5 39 43,5 44 43,5 44 42 41,5 Группа пловцов (n = 36) выполняет контрольный заплыв на время. Результаты приведены в таблице. Требуется: 1 Провести первичную статистическую обработку данных: составить вариационный ряд; разбить выборку на 6 интервалов, предварительно вычислив длину интервала h; подсчитать сумму частот значений, попавших в каждый интервал и составить интервальный вариационный ряд; построить гистограмму частот; вычислить середины интервалов; по серединам интервалов и суммам частот вычислить числовые характеристики: выборочную среднюю, исправленную дисперсию и исправленное среднеквадратическое отклонение. 2 С помощью критерия Пирсона (хи-квадрат) проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х – результата заплыва при уровне значимости α = 0,05.

Составим вариационный ряд, т. е. запишем значения вариант в возрастающем порядке и подсчитываем частоту для каждой из них. Результаты приведены в таблице 2.1. Проверим, что сумма частот равна объему выборки, т. е.  ni = 36.
Разобьем весь интервал значений на m = 6 частичных интервалов длиной
h=xmax - xminn=48 - 37.56=1.8
Найдем сумму частот вариант, попавших в каждый интервал, и составим интервальный вариационный ряд. Указанные и все последующие вычисления будем записывать в таблицу 2.2. Снова убедимся, что общая сумма частот равна объему выборки, т. е.  ni = 36.
Для построения гистограммы частот вычислим плотность каждой частоты (ni /h), результаты внесем в таблицу 2.2.
Построим гистограмму частот.
Рисунок 1– Гистограмма частот
Чтобы определить выборочную среднюю хв и выборочное среднеквадратическое отклонение s, в качестве вариант принимают середины интервалов (среднее арифметическое концов интервала):
хi* = (хi + хi+1):2
или
хi* = хi + h/2 = хi + 0,9.
Результаты также запишем в таблицу 2.2.
По серединам интервалов и суммам частот вычислим несмещенные оценки для математического ожидания (а) и среднеквадратического отклонения (s), используя формулы (2.7) и (2.11)

. Получим:
a=xв=38,4*5+40,2*7+42*6+43,8*13+45,6*2+47,4*336==42,5
s2 = ((38,4 – 42,5)25+ (40,2 – 42,5)2 + (42 –42,5)2 *6+ (43,8 –42,5)2 *13+ (45,6 – 42,5)2) : 35 =6,74;
s=6,74=2,56
Пронормируем Х, т.е. перейдем к случайной величине Z = (X – a)/s, и вычислим концы интервалов
zi=xi-as zi+1=xi+1-as
При этом принимаем z1=-∞; z7=+∞.
z2=39,3-42,52,56=-1,214 z3=41,1-42,52,56=-0,52
z4=42,9-42,52,56=0,173 z2=44,7-42,52,56=0,867
z6=46,5-42,52,56=1,561
Результаты заносим в таблицу 2.2.
Для вычисления теоретических частот по таблице 1 приложения находим значения для Ф(zi) и Ф(zi+1) и записываем в таблицу 2.2, учитывая при этом, что функция Ф(х) – нечетная, т. е. Ф(– х) = – Ф(х). Кроме того, Ф(z1) = – 0,5; Ф(z6) = – 0,5.
Теоретические частоты находим по формуле (2.16)
niт = nРi
где n – объем выборки; Рi – вероятности попадания Х в интервалы (хi; xi+1).
Вероятность попадания в i-тый интервал вычисляем по формуле (2.15)
Рi = Ф(zi+1) – Ф(zi).
Учитывая знаки получим
Р1 = – 0,3883+0,5 = 0,0837;
Р2 = -0,2019+0,3883 =0,1864 ;
Р3 = 0,0714+0,2019= 0,2773;
Р4 = 0,3078-0,0714 =0,2364;
Р5 = 0,4418 – 0,3078 =0,134 ;
Р6=0,5-0,4418=0,0463
6240780187960ii
00ii
Найденные значения, а также значения теоретических частот n т = 36Р заносим в таблицу 2.2.
Необходимо отметить, что интервалы с частотой ni  5 рекомендуется объединять с предыдущим или последующим, а частоты этих интервалов сложить