Автосервис решил нанять нового механика для того, чтобы он менял старые покрышки на новые.

Автосервис решил нанять нового механика для того, чтобы он менял старые покрышки на новые. На это место есть два кандидата. Один из них имеет ограниченный опыт и может быть нанят за 7 ден. ед./ч. Ожидается, что этот механик может обслуживать трех клиентов в час. Другой механик более опытен, он в состоянии обслуживать четырех клиентов в час, но его можно нанять за 10 ден. ед./ч. Клиенты прибывают со скоростью 2 чел./ч. Предполагая пуассоновское распределение продолжительности времени обслуживания, определите: среднее время, которое клиент проводит в очереди; среднюю длину очереди; среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания; среднее число клиентов в системе обслуживания; вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой при условии найма одного или другого механика. Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами своей очереди в 15 ден. ед./ч. Какого механика следует нанять, чтобы обеспечить меньшие совокупные издержки? Каковы минимальные совокупные издержки?

Имеем одноканальную СМО с ожиданием (неограниченной очередью). По условиям задачи имеем следующие параметры системы: 
интенсивность входящего потока λ=2 чел./ч.;
интенсивность потока обслуживания:
первого механика μ=3 чел./ч.
второго механика μ=4 чел./ч.
издержки компании по ожиданию клиентами своей очереди Cож=15 ден.ед./ч.
издержки компании по найму на работу:
первого механика Cобс=7 ден.ед./ч.
второго механика Cобс=10 ден.ед./ч.
Получаем интенсивность нагрузки и нагрузку:
первого механика:
ρ=λμ=23≈0,667
второго механика:
ρ=λμ=24=0,5
Средняя длина очереди определяется по формуле:
Lоч=ρ21-ρ
Подставляя данные, получаем для
первого механика:
Lоч=0,66721-0,667≈1,333
второго механика:
Lоч=0,521-0,5=0,5
Среднее время, которое клиент проводит в очереди (среднее время ожидания в очереди) определяется по формуле:
tоч=ρμ∙(1-ρ)
Подставляя данные, получаем для
первого механика:
tоч=0,6673∙(1-0,667)≈0,667
второго механика:
tоч=0,54∙(1-0,5)=0,25
Среднее число клиентов в системе обслуживания определяется по формуле:
Lсис=Lоч+Lобс=Lоч+ρ
Подставляя данные, получаем для
первого механика:
Lсис=1,333+0,667=2
второго механика:
Lсис=0,5+0,5=1
Вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой при условии найма одного или другого механика определяется по формуле:
p0=k=0nρkk!+ρn+1n!n-ρ-1
Для одноканальной СМО данное выражение примет вид:
p0=1-ρ
Подставляя данные, получаем для
первого механика:
p0=1-0,667≈0,333
второго механика:
p0=1-0,5=0,5
Издержки, связанные с функционированием системы, определяются по формуле:
Cсис=Cож∙Lоч+Cобс∙Lобс
Подставляя данные, получаем для
первого механика:
Cсис=15∙1,333+7∙0,667≈24,667
второго механика:
Cсис=15∙0,5+10∙0,5=12,5
Таким образом, издержки будут минимальны, в случае найма второго механика и составят 12,5 ден