Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис. П 2.9). В цепи действует постоянная

Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис. П 2.9). В цепи действует постоянная ЭДС (Е). Параметры цепи приведены в таблице 6. Таблица 6 Вариант Рисунок E, В L1, мГн С1, мкФ R1, Ом R2, Ом R3, Ом Определить 13 П2.9 100 1 10 50 10 40 i3 Рис П2.9 Рассмотреть переходный процесс в цепи второго порядка, когда L2=0, т.е. участок a-b схемы закорочен и когда С2=∞ , т. е. ветвь m-n с конденсатором С2 разомкнута. При копировании схемы элементы L2 и C2 должны отсутствовать. Определить закон изменения во времени указанной в таблице величины (тока или напряжения). Задачу следует решать двумя методами: классическим и операционным. На основании полученного аналитического выражения требуется построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t= 0 до t= 3/|pmin| , где |pmin|- меньший по модулю корень характеристического уравнения.

Расчет переходных процессов классическим методом.
Перерисуем схему, когда L2=0, т.е. участок a-b схемы закорочен. Схема замещения электрической цепи (рис.1):
Рис.1
Рассчитываем режим до коммутации (ключ замкнут). Цепь постоянного тока (индуктивное сопротивление равно 0, емкостное – бесконечности), представлена на рис.2.
3317875538480uc
0uc
3316019588450
Рис.2
До коммутации ток через резистор R1 не проходит. Постоянный ток в ветви с емкостным элементом I2=0. От постоянного тока на индуктивном элементе L1 нет падения напряжения uL(0-)=0.
Ток i1(0-) = i3(0-) = ER2+R3=10010+40=2 А.
Напряжение на конденсаторе
uc(0-) = E = i3(0-)(R2+R3)=100 В.
По законам коммутации получаем независимые начальные условия:
i3(0+) = i3(0-) = 2 А;
uc(0+) = uc(0-) = 100 В.
Расчет принужденных составляющих. Для их определения рассчитаем установившийся режим в цепи после коммутации (ключ разомкнут). В этом случае имеем цепь постоянного тока (индуктивное сопротивление равно 0, емкостное -бесконечности), представленную на рис.3.
36384037159873010828756773ucпр
0ucпр
1932647915035i1пр
0i1пр
30522507863253585455352327i3пр
0i3пр
2636032915035i2пр
0i2пр
Рис.3
Определим токи в ветвях (принужденные составляющие):
I2пр=0;
I1пр = I3пр = ER1+R2+R3=1 А.
Напряжение на емкостном элементе (принужденная составляющая):
Ucпр = E-I1R1=100-1∙50=50 В.
Для начального момента времени t=0+ имеем:
i1пр(0+) = i3пр(0+) = 1 А;
i2пр(0+) = 0 А;
ucпр(0+) = 50 В.
Расчет свободной составляющей.
Составляем характеристическое уравнение для цепи после коммутации через входное сопротивление цепи в комплексной форме:
Zвхjω=R1+(R2+R3+jωL1)1jωC1R2+R3+jωL1+1jωC1.
Заменим jω на p, получим
Zвхp=R1+R2+R3+pL11pC1R2+R3+pL1+1pC1=R1+R2+R3+pL1pR2C1+pR3C1+p2L1C1+1 =
= p2L1C1R1+pR1R2C1+pR1R3C1+pL1+R1+R2+R3pR2C1+pR3C1+p2L1C1+1.
Приравниваем числитель к нулю, получим характеристическое уравнение
p2L1C1R1+pR1R2C1+pR1R3C1+pL1+R1+R2+R3=0.
Подставим числовые значения:
500∙10-9p2+0,026p+100=0.
Находим корни характеристического уравнения:
p1 = -4183 c-1;
p2 = -47817 c-1.
Запишем выражение для свободной составляющей тока i3, в общем виде

. Так как корни отрицательные, неравные, то свободная составляющая имеет вид:
i3свt=A1ep1t+A2ep2t.
Найдем постоянные интегрирования A1 и А2. Для этого запишем уравнение для производной di3свtdt=p1A1ep1t+p2A2ep2t.
Подставим в уравнения п.3.3 и п.3.4 t=0+, получим систему для определения постоянных интегрирования:
A1+A2=i3св0+p1A1+p2A2= di3свtdt.
Для решения системы необходимо найти значения свободной составляющей i3св0+ и ее производной di3свtdt в начальный момент времени.
Свободная составляющая в момент времени t=0+
i3св0+=i30+-i3пр0+=2-1=1 А.
Производная di3свtdtt=0+в момент времени t=0+
di3свtdtt=0+=di3tdtt=0+-di3прtdtt=0+.
Принужденная составляющая тока i3пр(t) = 1 А = const. Следовательно, di3прtdtt=0+=0, а di3свtdtt=0+=di3tdtt=0+.
Для послекоммутационной схемы запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для второго контура:
i3tR2+R3+L1di3tdt-uct=0.
При t=0+, получим
i30+R2+R3+L1di3tdtt=0+-uc0+=0,
откуда
di3tdtt=0+=uc0+-i30+R2+R3L1=100-2(10+40)10-3=0 А/с.
Подставим найденные значения свободной составляющей тока i3св0+ и производной di3tdtt=0+в систему для определения постоянных интегрирования:
A1+A2=1-4183A1-47817A2= 0.
Решив систему, получаем постоянные интегрирования:
A1=1,096;
A2=-0,096.
Окончательное выражение для свободной составляющей тока i3свt:
i3свt=A1ep1t+A2ep2t=1,096e-4183t-0,096e-47817t, А.
Ток переходного процесса в третьей ветви
i3t=i3прt+i3свt=1+1,096e-4183t-0,096e-47817t A.
Расчет переходных процессов операторным методом
Рассчитываем цепь в установившемся режиме до коммутации и определяем независимые начальные условия (см