Для трехпараметрической модели найти ожидаемое время выполнения проекта, определить вероятность выполнения проекта не позднее

Для трехпараметрической модели найти ожидаемое время выполнения проекта, определить вероятность выполнения проекта не позднее заданного срока, найти интервал гарантированного (с вероятностью Р = 0.9973) времени выполнения проекта, оценить максимально возможный срок выполнения проекта с заданной надежностью. Работа Опирается на работы tПЕС tВЕР tОПТ b1 – 9 4 3 b2 – 7 5 4 b3 – 13 6 2 b4 b1 8 6 3 b5 b1 6 5 2 b6 b2 10 8 3 b7 b2 9 4 3 b8 b3 10 5 2 b9 b5, b6, b7, b8 9 6 2 b10 b5, b6 11 5 3 b11 b4 9 5 2 Директивный (заданный) срок выполнения проекта Тдир = 20 дней. Заданная надежность γ = 0.90. Выполнить те же расчеты для двухпараметрической модели. Сравнить результаты.

Найдем ожидаемую продолжительность работ (tож) для трехпараметрической модели по формуле:
tож = (tпес + 4 x tвер + tопт) / 6,
Например,
tож(b1) = (9 + 4 x 4 + 3) / 6 = 4.7 ≈ 5
tож(b2) = (7 + 4 x 5 + 4) / 6 = 5.2 ≈ 5
tож(b3) = (13 + 4 x 6 + 2) / 6 = 6.5 ≈ 7
tож(b4) = (8 + 4 x 6 + 3) / 6 = 5.8 ≈ 6
tож(b5) = (6 + 4 x 5 + 2) / 6 = 4.7 ≈ 5
и т. д.
Для упрощения дальнейших вычислений округляем полученные величины до целых чисел (по правилам округления с избытком и недостатком).
Для сравнения найдем также ожидаемую продолжительность работ (*tож) для двухпараметрической модели по формуле
t*ож = (3 x tпес + 2 x tопт) / 5,
Например,
t*ож(b1) = (3 х 9 + 2 x 3) / 5 = 6.6 ≈ 7
t*ож(b2) = (3 х 7 + 2 x 4) / 5 = 5.8 ≈ 6
t*ож(b3) = (3 х 13 + 2 x 2) / 5 = 8.6 ≈ 9
t*ож(b4) = (3 х 8 + 2 x 3) / 5 = 6 ≈ 6
t*ож(b5) = (3 х 6 + 2 x 2) / 5 = 4.4 ≈ 4
и т. д.
Двухпараметрическая модель проще, но дает менее точные оценки.
Для вычисления дисперсий продолжительностей работ воспользуемся формулой:
σ2(tож) = ((tпес – tопт) / 6)2,
σ2(tож(b1) = ((9 - 3) / 6)2 = 1
σ2(tож(b2) = ((7 - 4) / 6)2 ≈ 0.3
σ2(tож(b3) = ((13 - 2) / 6)2 ≈ 3.4
σ2(tож(b4) = ((8 - 3) / 6)2 ≈ 0.7
σ2(tож(b5) = ((6 - 2) / 6)2 ≈ 0.4
Дополним исходную таблицу полученными значениями:
Работа Опирается на работы tПЕС tВЕР tОПТ tож t*ож σ2
b1 – 9 4 3 5 7 1
b2 – 7 5 4 5 6 0.3
b3 – 13 6 2 7 9 3.4
b4 b1 8 6 3 6 6 0.7
b5 b1 6 5 2 5 4 0.4
b6 b2 10 8 3 8 7 1.4
b7 b2 9 4 3 5 7 1
b8 b3 10 5 2 5 7 1.8
b9 b5, b6, b7, b8 9 6 2 6 6 1.4
b10 b5, b6 11 5 3 6 8 1.8
b11 b4 9 5 2 5 6 1.4
Таким образом трехпараметрическая модель сведена к однопараметрической.
Теперь можно построить сетевой график и рассчитать его временные характеристики (рис. 4).
25717651675365
8
005
8
1084521207635
5
005
5
19484991928560011156951644651
1
22313901644654
4
18859651742870073804010233100
361570526281613
13
0013
13
165989014605b6 8
00b6 8
2183780185420b7 5
00b7 5
2481240861680055600968580b2 5
00b2 5
24893925329513
13
0013
13
1173303445837
8
007
8
-62471190700
0
000
0
30210292519410032404052520957
7
1758580303663b8 5
00b8 5
673144282915b3 7
00b3 7
33115252520955
5
19288132625720021958302520952
2
83470826257200120652520950
0
344805051371500298030728448000
598805296545b1 5
00b1 5
75912053651003140710212400b10 6
00b10 6
189787341328002754376135890b9 6
00b9 6
355189522676919
19
0019
19
225513619617011
14
0011
14
11515791987115
8
005
8
171578531587b5 5
00b5 5
3021965121285002861591160655b11 5
00b11 5
3240405984258
8
1767737161216b4 6
00b4 6
1928495121920002231390984256
6
1115695984253
3
Рис.4
Работа Опирается на работы tож σ2
b1 – 5 1
* b2 – 5 0.3
b3 – 7 3.4
b4 b1 6 0.7
b5 b1 5 0.4
* b6 b2 8 1.4
b7 b2 5 1
b8 b3 5 1.8
* b9 b5, b6, b7, b8 6 1.4
* b10 b5, b6 6 1.8
b11 b4 5 1.4
Ожидаемое критическое время Ткр = 19.
На критическом пути 1 лежат работы b2, b6, b9.
На критическом пути 2 лежат работы b2, b6, b10.
Найдем дисперсию критических путей.
σ2КР1 = σ2(b2) + σ2(b6) + σ2(b9) = 0.3 + 1.4 + 1.4 = 3.1
σ2КР2 = σ2(b2) + σ2(b6) + σ2(b10) = 0.3 + 1.4 + 1.8 = 3.5
Среднеквадратическое отклонение:
σ1 = √ Σσ2 = √ 3.1 = 1.76
σ2 = √ Σσ2 = √ 3.5 = 1.87
Для расчета вероятностных характеристик выбираем критический путь с наибольшим среднеквадратическим отклонением.
Найдем вероятность того, что проект будет выполнен не позднее заданного срока (Тдир = 20 дней).
Р(tкр ≤ 20 дн.) = 0.5 + Ф ((20 – 19) / 1.87) = 0.5 + Ф(0.53) ≈ 0.7
Таким образом, имеются неплохие шансы (70 %) выполнить проект в заданный срок.
Найдем интервал гарантированного времени выполнения проекта.
Воспользуемся правилом «трех сигм»:
3σКР = 3 х 1.87 = 5.61 ≈ 6 дн.
т.е

. с вероятностью почти 0.9973 проект будет выполнен за 19 ± 6 дней.
Следовательно, можно с большой долей уверенности гарантировать, что максимальный срок выполнения проекта не превысит 25 дней.
Оценим максимально возможный срок T выполнения проекта с заданной надежностью γ = 0.90.
По таблице значений функции Лапласа найдем доверительный коэффициент Zγ для заданной надежности γ.
Так как P((tкр – Ткр) ≤ Z0.9 х σКР) = 2 х Ф ((Z0.9 х σКР / σКР)) = 2 х Ф(Z0.9) = 0.90
то из 2 х Ф(Z0.9) = 0.9 --> Ф(Z0.9) = 0.45 Z0.9 = 1.65 и
P((tкр – 19) ≤ 1.65 х 1.87) = P((tкр – 19) ≤ 3.09) = P(16.91 ≤ tкр ≤ 22.09) = = 0.9
Это значит, что с надежностью 0.9 проект будет завершен в период от 16 до 22 дней.
Более точную оценку максимально возможного срока Т завершения проекта с данной надежностью γ можно получить из формулы:
Р(tкр ≤ Т) = 0.5 + Ф ((Т – Ткр / σКР) = 0.5 + Ф(Zγ) = γ, где Т – Ткр = Zγ x σКР.
В нашем случае 0.5 + Φ(Z0.9) = 0.9, Φ(Z0.9) = 0.4, Z0.9 = 1.29 и
Т = Ткр + Zγ x σКР = 19 + 1.29 х 1.87 ≈ 19 + 2.41 = 21.41, т. е. с надежностью 0.9 проект будет завершен не позже 21 дня.
Рассмотрим теперь двухпараметрическую модель. Такая модель используется в тех случаях, когда сложно определить наиболее вероятные продолжительности выполнения отдельных работ. Ожидаемая продолжительность работ (t*ож) для двухпараметрической модели нами уже вычислена. Среднеквадратическое отклонение этих продолжительностей то же, что и у трехпараметрической модели.
Итак, для двухпараметрической модели имеются следующие данные, представленные в таблице:
Работа Опирается на работы tПЕС tОПТ t*ож σ2
b1 – 9 3 7 1
b2 – 7 4 6 0.3
b3 – 13 2 9 3.4
b4 b1 8 3 6 0.7
b5 b1 6 2 4 0.4
b6 b2 10 3 7 1.4
b7 b2 9 3 7 1
b8 b3 10 2 7 1.8
b9 b5, b6, b7, b8 9 2 6 1.4
b10 b5, b6 11 3 8 1.8
b11 b4 9 2 6 1.4
Проведем анализ полученной модели