Две точки движутся вдоль оси x согласно уравнениям x1 = A1 + B1t + C1t2 + D1 t3 и x2 = A2 + B2t + C2t2 + D2t3,

Две точки движутся вдоль оси x согласно уравнениям x1 = A1 + B1t + C1t2 + D1 t3 и x2 = A2 + B2t + C2t2 + D2t3, где B1 = 1 м/с; C1 = 2 м/с2; D1 = 0,1 м/с3; B2 = 2 м/с; C2 = 0,8 м/с2; D2 = 0,2 м/с3. Каковы будут скорости точек, когда их ускорения окажутся одинаковыми? Дано: x1 = A1+ B1t + C1t2+D1t3 x2 = A2+ B2t + C2t2+D2t3 B1 = 1 м/с C1 = 2 м/с2 D1 = 0,1 м/с3 B2 = 2 м/с C2 = 0,8 м/с2 D2 = 0,2 м/с3 a1 (t) = a2 (t) Решение Для одномерного движения вдоль оси ОX, скорость v есть первая производная от координаты по времени, а ускорение a – первая производная от скорости по времени или вторая производная от координаты по времени. Найдем скорость и ускорение каждой точки, как функции времени: v1t=dx1tdt=dA1+B1t+C1t2+D1t3dt=B1+2C1t+3D1t2; v2t=dx2tdt=dA2+B2t+C2t2+D2t3dt=B2+2C2t+3D2t2; v1t= ? v2 (t)= ? a1t=dv1tdt=dB1+2C1t+3D1t2dt=2C1+6D1t; a2t=dv2tdt=dB2+2C2t+3D2t2dt=2C2+6D2t. Найдем момент времени, когда ускорения точек стали равны: a1t=a2t; 2C1+6D1t=2C2+6D2t. 3D2-D1t=C1-C2; t=C1-C23D2-D1; t=2-0,830,2-0,1=4 (с). Найдем скорости в этот момент: v1t=B1+2C1t+3D1t2=1+224+30,142=21,8 мc; v2t=B2+2C2t+3D2t2=2+20,84+30,242=18 мc; Ответ: v1t=21,8 мc; v2t=18 мc. 127. На краю круглой платформы радиусом R = 2,35 м лежит шайба. Платформа вращается так, что путь, проходимый шайбой, растет в соответствии с уравнением s = Ct2, где C = 0,5 м/с2. В какой момент времени шайба соскользнет с платформы, если коэффициент трения = 0,2? Дано: R = 2,35 м s = Ct2 C = 0,5 м/с2 = 0,2 g=9,8 мc2

T – ?
Для того, чтобы тело не скользило, а вращалось вместе с диском, у него должно быть необходимое ускорение, которое обеспечивается силой трения.
По 2 закону Ньютона:
ma=mg+N+Fтр. (1)
Здесь mg –сила тяжести, N сила нормальной реакции опоры, Fтр –сила трения. Полное ускорение a можно представить в виде суммы центростремительного (нормального) an и тангенциального a ускорений:
a=an+a
a=an2+a2
Проекция уравнения на направление ускорения:
ma=Fтр. (2)
Проекция на ось вращения:
0=-mg+N;
N=mg.
По определению коэффициента трения:
=FтрN;
Fтр=N=mg.
Подставим полученные выражения в (2):
man2+a2=mg.
an2+a2=2g2

. (3)
Для одномерного движения по окружности, линейная скорость v есть первая производная от пути по времени, а тангенциальное ускорение a – первая производная от линейной скорости по времени. Найдем скорость и тангенциальное ускорение как функции времени:
v(t)=dSdt=dСt2dt=2Сt;
a(t)=dv(t)dt=d2Ctdt=2C.
Таким образом, из второго выражения видно, что тангенциальное ускорение здесь есть постоянная величина, не зависящая от времени. Найдем нормальное ускорение, используя формулу связи с линейной скоростью:
ant=v2R=4C2t2R.
Подставим полученные выражения в (3):
16C4t4R2+4C2=2g2.
Выразим время:
t=42g2-4C216C4R2=12C42g2-4C2R2;
t=120,540,229,82-40,522,352=1,99 с.
Ответ: t =1,99 с.
147. Долбежный станок, мощность двигателя которого N = 480 Вт, за t = 5 мин прорезает паз глубиной h = 18 мм и длиной l = 100 мм