Имеются данные о среднегодовой стоимости основных производственных средств и рентабельности продаж на предприятиях города: а)

Имеются данные о среднегодовой стоимости основных производственных средств и рентабельности продаж на предприятиях города: а) построить групповую таблицу, показывающую зависимость между двумя признаками; б) дать графическое изображение зависимости; в) рассчитать линейный коэффициент корреляции; г) оценить существенность коэффициента корреляции; д) построить линейное и одно из криволинейных уравнений зависимости между фактором и результатом, оценить параметры уравнений; е) на основе ошибки аппроксимации выбрать лучшее уравнение; ж) сделать выводы № п/п Рентабельность продаж, % Среднегодовая стоимость ОПС, млн. руб. 1 12,3 53,81 2 18,4 80,83 3 15,7 59,96 4 8,9 36,96 5 17,3 91,43 6 8,7 17,16 7 11,5 27,29 8 25,9 184,33 9 15,3 58,42 10 17,2 59,4 11 14,2 49,63 12 24,7 391,27 13 28,2 258,62 14 12,3 53,81 15 18,4 80,83 16 15,7 59,96 17 8,9 36,96

Используя шкалу определения оптимального числа групп, из 17-ти единиц образуем три группы.
Проводим группировку по факторному признаку – среднегодовой стоимости ОПФ, образуем три группы с равными интервалами. Величину
интервала группировки определяем по формуле:
Δ=xmaxxminn
где Δ– величина интервала;
xmax – максимальное значение группировочного признака;
xmin – минимальное значение группировочного признака;
n – число групп.
Δ=391,27-17,163=374,113=124,7 млн. руб.
В расчет принимает 125 млн. руб.
1-я группа 2-я группа 3-я группа
17,16 – 142,16 142,16 –267,16 267,16 – 392,16
Таблица 1 – Группировка предприятий города по среднегодовой стоимости ОПФ
Группы по среднегодовой стоимости ОПФ, млн. руб. № п/п Рентабельность продаж, % Среднегодовая стоимость ОПФ, млн. руб.
17,16 – 142,16 6 8,7 17,16
7 11,5 27,29
4 8,9 36,96
17 8,9 36,96
11 14,2 49,63
1 12,3 53,81
14 12,3 53,81
9 15,3 58,42
10 17,2 59,4
3 15,7 59,96
16 15,7 59,96
2 18,4 80,83
15 18,4 80,83
5 17,3 91,43
Итого 14 194,8 766,45
142,16 –267,16 8 25,9 184,33
13 28,2 258,62
Итого 2 54,1 442,95
267,16 – 392,16 12 24,7 391,27
Итого 1 24,7 391,27
Всего 17 273,6 1600,67
а) построим групповую таблицу, показывающую зависимость между двумя признаками (см. табл.2).
Таблица 2 – Аналитическая группировка предприятий по среднегодовой стоимости ОПФ
Номер группы
Среднегодовая стоимость ОПФ, млн. руб. Число единиц Средний размер стоимости ОПФ,
млн. руб.
Средняя рентабельность продаж,%
1 17,16 – 142,16 14 54,7 13,9
2 142,16 –267,16 2 221,5 27,1
3 267,16 – 392,16 1 391,27 24,7
Итого 17 94,2 16,1
Наблюдается прямая зависимость между признаками. С увеличением среднего размера стоимости основных производственных фондов, увеличивается средняя рентабельность продаж.
б) Графическое изображение линейной зависимости.
Рисунок 1 – Корреляционное поле зависимости между признаками
На графике видим, прямую линейную зависимость между признаками.
в) Рассчитаем линейный коэффициент корреляции по формуле:
Таблица 3 - Расчетные данные для определения коэффициента корреляции
№ п/п Рентабельность продаж, %
y Среднегодовая стоимость ОПФ, млн. руб.
хх
x
у2
x2
xy
y
yi-y
y-yiyi
1 12,3 53,81 151,29 2895,516 661,863 14,1 1,8 0,146
2 18,4 80,83 338,56 6533,489 1487,27 15,4 3,0 0,163
3 15,7 59,96 246,49 3595,202 941,372 14,4 1,3 0,083
4 8,9 36,96 79,21 1366,042 328,944 13,3 4,4 0,494
5 17,3 91,43 299,29 8359,445 1581,74 16,0 1,3 0,075
6 8,7 17,16 75,69 294,4656 149,292 12,3 3,6 0,414
7 11,5 27,29 132,25 744,7441 313,835 12,8 1,3 0,113
8 25,9 184,33 670,81 33977,55 4774,15 20,6 5,3 0,205
9 15,3 58,42 234,09 3412,896 893,826 14,3 1,0 0,065
10 17,2 59,4 295,84 3528,36 1021,68 14,4 2,8 0,163
11 14,2 49,63 201,64 2463,137 704,746 13,9 0,3 0,021
12 24,7 391,27 610,09 153092,2 9664,37 30,8 6,1 0,247
13 28,2 258,62 795,24 66884,3 7293,08 24,3 3,9 0,138
14 12,3 53,81 151,29 2895,516 661,863 14,1 1,8 0,146
15 18,4 80,83 338,56 6533,489 1487,27 15,4 3,0 0,163
16 15,7 59,96 246,49 3595,202 941,372 14,4 1,3 0,083
17 8,9 36,96 79,21 1366,042 328,944 13,3 4,4 0,494
Итого 273,6 1600,67 4946,04 301537,611 33235,62 273,6 46,6 3,214
По шкале Чеддока коэффициент корреляции 0,83 свидетельствует о высокой корреляционной связи между признаками.
г) Вероятностная оценка существенности коэффициента корреляции при малой выборке можно осуществить на основе расчета значения t - критерия Стьюдента
,
гдеr - коэффициент корреляции; n - число сопоставляемых пар наблюдений.
tрас=0,8317-21-0,83²=3,210,558=5,753
По таблице Стьюдента с учетом уровня значимости =5% и числа степеней свободы ν =17-1-1=15 получаем =2,131.
Фактическое значения превышают табличное критическое значение

. Это позволяет признать вычисленный коэффициент корреляции типичным.
Линейная зависимость
Если с увеличением факторного признака результативный признак равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой
где yx – теоретическая зависимость (уравнение регрессии) результативного признака от факторного;
x – факторный признак;
а0, а1 – параметры уравнения прямой.
Параметры уравнения прямой а0 и а1, определяются путем решения системы уравнений, полученных с использованием метода наименьших квадратов:
где xi, yi – индивидуальные значения факторного и результативного признаков;
n – число индивидуальных значений признака.
Данные берем из таблицы 3.
Решение указанной системы уравнений дает следующие формулы для нахождения параметров и :
;
Таблица 3 - Расчетные данные для определения параметров уравнения
№ п/п Рентабельность продаж, %
y Среднегодовая стоимость ОПФ, млн. руб.
x xi-x
xi-x²
xy
y
yi-y²
1 12,3 53,81 40,39 1631,35 661,863 14,1 3,24
2 18,4 80,83 13,37 178,76 1487,27 15,4 9,00
3 15,7 59,96 34,24 1172,38 941,372 14,4 1,69
4 8,9 36,96 57,24 3276,42 328,944 13,3 19,36
5 17,3 91,43 2,77 7,67 1581,74 16 1,69
6 8,7 17,16 77,04 5935,16 149,292 12,3 12,96
7 11,5 27,29 66,91 4476,95 313,835 12,8 1,69
8 25,9 184,33 90,13 8123,42 4774,15 20,6 28,09
9 15,3 58,42 35,78 1280,21 893,826 14,3 1,00
10 17,2 59,40 34,8 1211,04 1021,68 14,4 7,84
11 14,2 49,63 44,57 1986,48 704,746 13,9 0,09
12 24,7 391,27 297,07 88250,58 9664,37 30,8 37,21
13 28,2 258,62 164,42 27033,94 7293,08 24,3 15,21
14 12,3 53,81 40,39 1631,35 661,863 14,1 3,24
15 18,4 80,83 13,37 178,76 1487,27 15,4 9,00
16 15,7 59,96 34,24 1172,38 941,372 14,4 1,69
17 8,9 36,96 57,24 3276,42 328,944 13,3 19,36
Итого 273,6 1600,67 1103,97 150823,26 33235,62 273,6 172,36
x=xin=1600,6717= 94,2 y=yin=273,617= 16,1
Оценка существенности параметра a1 производиться на основе ошибки коэффициента регрессии:
ma1=yi-y²:n-2xi-x²
где – расчетные значения результативного признака; n-2 – число степеней свободы.
ma1=172,36:15150823,3=0,009
Расчетное значение t - критерия определяется:
.
По данным таблицы Стьюдента tрасч.>tтабл., поэтому параметр a1 признается существенным