Мобильный робот тележка (рис. 1.) осуществляет криволинейное движение за счёт разности угловых скоростей ведущих

Мобильный робот тележка (рис. 1.) осуществляет криволинейное движение за счёт разности угловых скоростей ведущих колёс, которые вращаются при помощи моторов-редукторов (рис. 2). Геометрические параметры мобильного робота: r=3 см, расстояние между ними a=9 см. При известном законе движения точки, делящей расстояние между колёсами пополам: x=22cost см,y=20sin2t см,0≤t≤20 с. Найти её скорость и ускорение в момент времени t=7 c. Рекомендуется построить траекторию движения точки с омощью онлайн помощника: http://grafikus.ru/#parametric

Этап 1.
В радианах
cos2∙7=0,1367sin(2∙7)=0,9906
cos7=0,7539sin7=0,6570
График траектории движения мобильного робота-тележки
Начальное положение точка М0 при t=0
x0=22cos0=22 см,y0=20sin2∙0=0 см,при t1 = 7 c.
x1=22∙0,7539=16,59 см,y1=20∙0,9906=19,81 см,
Проекция скорости средней точки (см/с) оси ведущих колёс на оси координат:
Vx=x=22cost'=-22sint
Vy=y=20sin2t'=40cos2t
при t1 = 7 c.
Vx1=-22∙0,6570=-14,45 см/сVy1=40∙0,1367=5,47 см/с
Скорость средней точки (см/с) оси ведущих колёс:
V1=x2+y2=-22sint2+40cos2t2==1600sin4t-1479sin2t+400
при t1 = 7 c.
V1=-14,452+5,472=15,45 см/с.
Проекция ускорения средней точки (см/с2) оси ведущих колёс на оси координат:
ax=x=-22sint'=-22cost
ay=y=40cos2t'=-80sin2t
при t1 = 7 c.
ax1=-22cos7=-16,59 см/с2ay1=-80sin2∙7=-79,25 см/с2
Ускорение средней точки (см/с2) оси ведущих колёс при (t1=7c):
a1=x2+y2=-16,592+-79,252=80,97 см/с2.
Этап 2.
Найти ориентированную кривизну, кривизну, радиус кривизны траектории, касательное ускорение, нормальное ускорение средней точки оси ведущих колёс в указанный на первом этапе момент времени (t1 = 7 c).
Ориентированная кривизна траектории средней точки (см-1) оси ведущих колёс:
k0=yx-yxx2+y23==-80sin2t-22sint-40cos2t-22cost-22sint2+40cos2t23
При t1 = 7 c.
k0=-80∙0,9906-22∙0,657-40∙0,1367∙-22∙0,7539-22∙0,6572+40∙0,136723==0,33 см-1.
Кривизна средней точки (см-1) оси ведущих колёс:
k=k0=0,33 см-1.
Радиусы кривизны траектории средней точки (см) оси ведущих колёс согласно определению, находится как величина обратная кривизне траектории:
ρ=1k=x2+y23xy-xy=-22sint2+40cos2t23-80sin2t-22sint-40cos2t-22cost
при t1 = 7 c.
ρ=10,33=3,03 см.
Проекция ускорения средней точки (см/с2) оси ведущих колёс на направление вектора её скорости:
av=xx-yyx2+y2=-22cost-22sint-40cos2t-80sin2t-22sint2+40cos2t2
при t1 = 7 c.
av=-22∙0,7539-22∙0,657-40∙0,1367∙-80∙0,9906-22∙0,6572+40∙0,13672==43,55 см/с2
Нормальное ускорение средней точки (см/с2) оси ведущих колёс:
an=yx-yxx2+y2=-80sin2t-22sint-40cos2t-22cost-22sint2+40cos2t2
при t1 = 7 c.
an=-80∙0,9906-22∙0,657-40∙0,1367∙-22∙0,7539-22∙0,6572+40∙0,13672==79,99 см/с2.
Этап 3.
Найти угловые скорости вращения ведущих колёc в относительном движении ω1 (левого) ω2 (правого), а также угловую скорость поворота мобильного робота в указанный на первом этапе момент времени.
Кинематическая схема
Ось телешки совершает плоское движение