На основании данных о приросте курса акций за 10 месяцев и изменении валютного курса

На основании данных о приросте курса акций за 10 месяцев и изменении валютного курса (%), приведенных в таблице в зависимости от варианта: Изменение валютного курса х Курс акций у 4 7 5 8 8 5 7 4 9 9 5 6 2 8 6 5 4 2 7 1 8 5 9 4 5 4 и предложения, что генеральное уравнение регрессии имеет вид: у=b0+b1x+e, требуется: а) Найти оценку и проверить на 5% уровне значимость уравнения регрессии, то есть гипотезу Н0: b1=0; б) Построить таблицу дисперсионного анализа для расчета F-критерия Фишера; в) Найти коэффициент детерминации R2; г) Найти интервальную оценку для прогноза при х=11; д) построить прямую линейной регрессии на диаграмме рассеивания.

Для начала построим уравнение регрессии. Для его построения используем метод наименьших квадратов (МНК).
Формально критерий МНК можно записать так:
S = ∑(yi - y*i)2 → min
Для расчета параметров уравнения b0, b1 необходимо решить систему уравнений:
b0·n + b1·∑x = ∑y
b0·∑x + b1·∑x2 = ∑y·x
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)
Таблица 1 – Вспомогательная таблица
x y x2 y2 xy
4 7 16 49 28
5 8 25 64 40
8 5 64 25 40
7 4 49 16 28
9 9 81 81 81
5 6 25 36 30
2 8 4 64 16
6 5 36 25 30
4 2 16 4 8
7 1 49 1 7
8 5 64 25 40
9 4 81 16 36
5 4 25 16 20
∑=79 ∑=68 ∑=535 ∑=422 ∑=404
Для наших данных система уравнений имеет вид
13b0 + 79·b1 = 68;
79·b0 + 535·b1 = 404.
Домножим уравнение (1) системы на (-6,077), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
-79b0 -480,083 b1 = -413,236;
79×b0 + 535×b1 = 404.
Получаем:
54,917×b1 = -9,236.
Откуда b1 = -0,1681.
Теперь найдем коэффициент «b0» из уравнения (1):
13b0 + 79×b1 = 68;
13b0 + 79×(-0,1681) = 68;
13b0 = 81,277;
b0 = 6,2521.
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b1 = -0,1681, b0 = 6,2521
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = -0,1681 x + 6,2521.
Таким образом, с изменением валютного курса на единицу курс акции сокращается на 0,1681.
Найдем оценку и проверим на 5% уровне значимость уравнения регрессии, то есть гипотезу Н0: b1=0.
Для этого рассчитаем t-критерий Стьюдента:
, где
- стандартное отклонение случайной величины b1, которое определим по формуле:
, где
- стандартная ошибка оценки, которую определим по формуле на основании данных таблицы 2:
;
Среднее квадратическое отклонение определим на основании таблицы 2:
;
;
.
Критическое значение Стьюдента составит:
tкрит(n-m-1;α/2) = tкрит(11;0,025) = 2,593.
Поскольку 0,51 < 2,593, то статистическая значимость коэффициента регрессии b1 не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента)

. Это означает, что в данном случае коэффициентом b1 можно пренебречь.
Построим таблицу дисперсионного анализа для расчета F-критерия Фишера.
Таблица 2 – Вспомогательная таблица
x y yx
(yi-ycp)2 (y-yx)2 (yx -xcp)2 (xi-xcp)2
4 7 5,58 3,13 2,017 0,122 4,314
5 8 5,412 7,669 6,699 0,033 1,16
8 5 4,908 0,0533 0,00854 0,104 3,698
7 4 5,076 1,515 1,157 0,024 0,852
9 9 4,739 14,207 18,152 0,242 8,544
5 6 5,412 0,592 0,346 0,033 1,16
2 8 5,916 7,669 4,343 0,470 16,621
6 5 5,244 0,0533 0,0594 0,000 0,00592
4 2 5,58 10,438 12,815 0,122 4,314
7 1 5,076 17,899 16,611 0,024 0,852
8 5 4,908 0,0533 0,00854 0,104 3,698
9 4 4,739 1,515 0,547 0,242 8,544
5 4 5,412 1,515 1,993 0,033 1,16
∑=79 ∑=68 ∑=68 ∑=66,308 ∑=64,756 ∑=1,552 ∑=54,923
Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:
∑(yi - ycp)2 = ∑(yx - ycp)2 + ∑(y - yx)2
где
∑(yi - ycp)2 - общая сумма квадратов отклонений;
∑(yx - ycp)2 - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);
∑(y - yx)2 - остаточная сумма квадратов отклонений