На предприятии работает 2000 сотрудников. Для изучения стажа работы сотрудников на этом предприятии по

На предприятии работает 2000 сотрудников. Для изучения стажа работы сотрудников на этом предприятии по схеме собственно случайной бесповторной выборки отобрано 400 человек. Полученные данные о стаже работы представлены в таблице: Найти: а) вероятность того, что средний стаж работы отличается от среднего стажа в выборке не более чем на 2 года (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля работников, стаж которых менее 7 лет; в) объем повторной выборки, при которой те же границы для доли работников (см. п. б)) можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных данных о рассматриваемой доле нет.

Сначала нужно найти выборочное среднее и среднее квадратическое отклонение. Для этого перейдем от интервального ряда к дискретному, вычислив середины интервалов:
хi 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5
ni 32 56 92 120 100
Вычисления проведем в таблице:
i    
1 2,5 32 80 5000
2 7,5 56 420 3150
3 12,5 92 1150 575
4 17,5 120 2100 750
5 22,5 100 2250 5625
сумма   400 6000 15100
среднее     15 37,75
Выборочное среднее: (лет)
Дисперсия 37,75
Исправленная дисперсия .
Исправленное среднее квадратическое отклонение: 6,15.
Следовательно средний стаж составляет 15 лет, а среднее отклонение от ожидаемого среднего значения составляет 6,15 лет.
а) найдем вероятность того, что средний стаж работы отличается от среднего стажа в выборке не более чем на 2 года (по абсолютной величине)

.
Применяем формулу , где = 2 года, Ф(х) – функция Лапласа, она нечетная, т.е. Ф(–х) = –Ф(х).
Найдем среднюю ошибку , для бесповторной выборки применяем формулу:
0,28.
Итак, вероятность того, что средний стаж работы отличается от среднего стажа в выборке не более чем на 2 года (по абсолютной величине), равна примерно единице.
б) найдем границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля работников, стаж которых менее 7 лет.
Границы для доли находим на основе точечной оценки и предельной погрешности выборки :
.
Найдем точечную оценку вероятности, если стаж менее 7 лет имеют 32 сотрудника из 400, поэтому доля таких сотрудников:
, .
Число t находим из равенства: γ = 2Ф(t) .
По таблицам функции Лапласа находим, что Ф(t)= 0,475 при t = 1,96.
то есть t = 1,96