Определите отдачу от масштаба для следующих производственных функций: 1) y = z1/4*g1/2 2) y = z1/2*g1/2 3)

Определите отдачу от масштаба для следующих производственных функций: 1) y = z1/4*g1/2 2) y = z1/2*g1/2 3) y = zα*gβ, где α, β>0 4) y = (z-2+ g-2)-1/2 А) Для каждой из этих функций определите, являются ли убывающими предельные продукты факторов производства. Б) Возможно ли найти значения α и β для функции 3), при которых отдача от масштаба является возрастающей, а предельные отдачи от ресурсов убывают? В) Возможно ли, что функция вида 3) имеет убывающую или постоянную отдачу от масштаба, но не убывающую предельную отдачу ресурсов?

А) 1) для функции y = z1/4*g1/2 при увеличении использования ресурсов в k раз выпуск будет равен:
y(kz, kg) = (kz)1/4*(kg)1/2 = k1/4 * z1/4 * k1/2 * g1/2 = k3/4 * (z1/4g1/2) = k3/4 * y(z, g).
Поскольку для любого k>1 выполняется неравенство k3/4 < k, то объем выпуска возрастет меньше, чем объем использования ресурсов, т.е. наблюдается убывающая отдача от масштаба.
Предельный продукт по фактору z равен:
MPz = dYdz=14*z-34*g12.
Предельный продукт является убывающей функцией, если MP` < 0:
dMPzdz=14*g12*-34*z-74=-316*g1z*z-74 < 0,
Значит предельный продукт по фактору z является убывающей функцией.
Предельный продукт по фактору g равен:
MPg = dYdg=12*z14*g-12.
dMPgdg=12*z14*-12*g-32=-14*g-32*z14 < 0,
Значит предельный продукт по фактору g также является убывающей функцией.
2) по функции y = z1/2*g1/2
y(kz, kg) = (kz)1/2*(kg)1/2 = k1/2 * z1/2 * k1/2 * g1/2 = k * (z1/2g1/2) = k * y(z, g).
Таким образом, при росте использования факторов в k раз, объем выпуска также возрастет в k раз, т.е. наблюдается постоянная отдача от масштаба.
Предельный продукт по фактору z равен:
MPz = dYdz=12*z-12*g12.
dMPzdz=12*g12*-12*z-32=-14*g1z*z-32 < 0,
Значит предельный продукт по фактору z является убывающей функцией.
Предельный продукт по фактору g равен:
MPg = dYdg=12*z12*g-12.
dMPgdg=12*z12*-12*g-32=-14*g-32*z12 < 0,
Значит предельный продукт по фактору g также является убывающей функцией.
3) по функции y = zα*gβ,
y(kz, kg) = (kz)α*(kg)β = kα * zα * kβ * gβ = kα+β * (zαgβ) = kα+β * y(z, g).
Таким образом, при росте использования факторов в k раз, объем выпуска возрастет в kα+β раз

. При любом k>1 функция kx является монотонно возрастающей. Таким образом,
если α+β >1, то kα+β > k, отдача от масштаба будет возрастающей
если α+β 11, то kα+β = k, отдача от масштаба будет постоянной
если α+β <1, то kα+β < k, отдача от масштаба будет убывающей
Предельный продукт по фактору z равен:
MPz = dYdz=α*zα-1*gβ.
dMPzdz=α*gβ*α-1*zα-2=α*(α-1)*gβ*zα-2.
Данная функция будет отрицательна и предельный продукт по фактору z будет убывающей функцией при условии:
α – 1 < 0, т.е. при α < 1
Предельный продукт по фактору g равен:
MPg = dYdg=β*zα*gβ-1.
dMPgdg=β*zα*β-1*gβ-2=β*(β-1)*gβ-2*zα,
Данная функция будет отрицательна и предельный продукт по фактору g будет убывающей функцией при условии:
β – 1 < 0, т.е