По данным таблицы составить интервальный и дискретный вариационные ряды; построить гистограмму и полигон относительных частот; рассчитать

По данным таблицы составить интервальный и дискретный вариационные ряды; построить гистограмму и полигон относительных частот; рассчитать несмещенные оценки мат.ожидания и дисперсии генеральной совокупности; вычислить асимметрию и эксцесс; рассчитать интервальные оценки мат.ожидания и дисперсии; проверить гипотезы о нормальном и показательном распределении генеральной совокупности. 34 48 27 37 34 59 29 28 54 27 35 49 27 37 35 59 30 28 24 27 36 54 28 41 36 27 31 37 29 39 39 24 28 48 39 37 31 37 26 40 40 26 28 49 26 52 31 41 30 59

Упорядочим вариационный ряд.
значение признака 24 26 27 28 29 30 31 34 35 36 37 39 40 41 48 49 52 54 59
частота 2 3 5 5 2 2 3 2 2 2 5 3 2 2 2 2 1 2 3
Построим интервальный вариационный ряд.
Для построения интервального ряда определим интервальный шаг выборки, воспользовавшись формулой Стерджеса
h=xmax-xmink; k=1+3,322∙lgn
где k – число интервалов;
n – объём выборки, n=50;
xmax – наибольшее значения признака, xmax=59;
xmin – наименьшее значения признака, xmin=24.
Полученную по формуле Стерджесса величину интервалов округляем до целого большего числа, поскольку количество групп не может быть дробным числом.
k=1+3,322∙lg50=6,643978≈7
h=59-247=357=5.
За начало первого интервала примем
x0=xmin=24; xi=24+i∙h=24+5∙i.
В результате получим интервальный ряд.
№
интервала Интервал xi-1; xi
наблюдённых значений Частота ni
1 24; 29
15
2 29;34
7
3 34;39
11
4 39; 44
7
5 44;49
2
6 49; 54
3
7 54;59
5
Итого 50
Построим дискретный вариационный ряд.
Для этого интервалы заменяем их серединами, причем частоты остаются прежними.
Найдем середины интервалов, относительные частоты и накопленные относительные частоты:
№
интервала Середины интервалов, xi
Частота, ni
Относительная частота, wi=nin
Накопленная относительная частота
1 26,5 15 0,3 0,3
2 31,5 7 0,14 0,44
3 36,5 11 0,22 0,66
4 41,5 7 0,14 0,8
5 46,5 2 0,04 0,84
6 51,5 3 0,06 0,9
7 56,5 5 0,1 1,0
Итого 100 1,0
Гистограмма – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников. Их основаниями служат частичные интервалы, а высоты равные относительным частотам.
Полигон частот (многоугольник распределения) – ломаная, соединяющая точки с координатами xi;ni или xi;wi.
Найдем числовые характеристики данной выборки.
Рассчитаем несмещенную оценку математического ожидания генеральной совокупности, как среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности:
x=xinin=24∙2+26∙3+27∙5+28∙5+…+54∙2+59∙350=181750=36,34
Дисперсия – характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е

. отклонения от среднего – смещенная оценка).
Рассчитаем смещенную дисперсию генеральной совокупности:
D=ni∙xi-x2n=24-36,342∙2+26-36,342∙3+…+59-36,342∙3100=
=304,5512+320,7468+…+1540,426850=4793,2250≈95,86
Рассчитаем несмещенную оценку генеральной дисперсии:
s2=nn-1∙D=5050-1∙95,86=97,82
s=s2=97,82=9,89
Определим коэффициент асимметрии, которая характеризует асимметрию полигона вариационного ряда:
As=xi-x3nin∙s3=24-36,343∙2+…+59-36,343∙350∙9,893=0,858
Вычислим эксцесс, показывающий степень “крутости” выборочного распределения относительно нормального распределения:
Ex=xi-x4nin∙s4-3=24-36,344∙2+…+59-36,344∙350∙9,894-3=-0,304
Рассчитаем интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.
Для оценки математического ожидания воспользуемся формулами:
x-sn∙t<xг<x+sn∙t
где s – несмещенная оценка генеральной дисперсии или исправленное среднее квадратическое отклонение,
sn∙t – точность оценки.
В данной задаче t находим из условия tγ; n=t0,95;50=2,009.
Определить интервальную оценку:
36,34-9,8950∙2,009<xг<36,34+9,8950∙2,009
36,33-2,81<xг<36,33+27,79
33,53<xг<39,15
Найдем интервальную оценку для дисперсии:
s∙1-q<sг<s∙1+q; qγ; n=q0,95;50=0,21
Определить интервальную оценку для генерального среднего квадратического отклонения:
9,89∙1-0,21<sг<9,89∙1+0,21
9,89∙0,79<sг<9,89∙1,21
7,81<sг<11,97
Первое неравенство означает, что математическое ожидание с вероятностью 95 % попадёт в интервал 33,53;39,15.
Проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
Выдвинем гипотезу H0: распределение генеральной совокупности X подчинено нормальному закону с параметрами a=36,34 и σ=9,89