После предварительной обработки результатов испытания получены таблицы, в которых значения опытных частот соответствующих интервалов

После предварительной обработки результатов испытания получены таблицы, в которых значения опытных частот соответствующих интервалов отличаются друг от друга в зависимости от трех параметров k1, k2, k3, то есть k1;k2;k3. Интервалы наблюдаемых значений Среднее значение xi Опытная частота ni Теоретическая частота ni' 190 – 200 195 10 + k1 n1' 200 – 210 205 26 + k2 n2' 210 – 220 215 59 + k3 n3' 220 – 230 225 61 - k3 n4' 230 – 240 235 30 - k2 n5' 240 - 250 245 14 - k1 n6' Требуется: Определить оценки математического ожидания mx, дисперсии Dx и среднего квадратического отклонения σx; Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения F*x; Построить доверительные интервалы для математического ожидания mx и дисперсии Dx с доверительной вероятностью β=0,99.

Рассмотрим результаты проведенных испытаний как значения некоторой случайной величины X.
Все зафиксированные значения распределены по 6 интервалам по факту попадания (первый столбец таблицы).
В каждом интервале определено среднее значение xi – середина интервала.
Установлено количество значений, попавших в каждый интервал (опытная частота ni).
Всего наблюдений 200 (объем выборки)
n=i=16ni=10+26+59+61+30+14=200
Дано: 0;0;3, то есть k1=0;k2=0;k3=3.
Интервалы наблюдаемых значений Среднее значение xi
Опытная частота ni
Теоретическая частота ni'
190 – 200 195 10 n1'
200 – 210 205 26 n2'
210 – 220 215 59 n3'
220 – 230 225 61 n4'
230 – 240 235 30 n5'
240 - 250 245 14 n6'
Определить оценки математического ожидания mx, дисперсии Dx и среднего квадратического отклонения σx
Оценка математического ожидания
mx=xв=1ni=1kxi∙ni=1200195∙10+205∙26+215∙59+225∙61+235∙30+245∙14=12001950+5330+12685+13725+7050+3430=44170200=220,85
Оценка дисперсии
Dx=S2=nn-1∙Dв=1n-1i=1kxi2∙ni-xв2∙n=1200-11952∙10+2052∙26+2152∙59+2252∙61+2352∙30+2452∙14-220,852∙200=1199380250+1092650+2727275+3088125+1656750+840350-9754944,5=1199∙30455,5≈153,04
Оценка среднего квадратического отклонения
σx=Dx=153,04≈12,37
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения F*x
Эмпирическая функция распределения F*x=X<xinin
F*x=X<xinin=0, x≤19510200, 195<x≤20536200, 205<x≤21595200, 215<x≤225156200, 225<x≤235186200, 235<x≤2451, x>245=0, x≤1950,05, 195<x≤2050,18, 205<x≤2150,475, 215<x≤2250,78, 225<x≤2350,93, 235<x≤2451, x>245
Гистограмма – фигура на плоскости, составленная из прямоугольников, основания которых – интервалы на оси (Ox) одной длины (h=10), а высота каждого wih зависит от опытной частоты.
Для построения гистограммы составим таблицу
Интервалы ni
wi=nin
wih
190 – 200 10 10200
102000=0,005
200 – 210 26 26200
262000=0,013
210 – 220 59 59200
592000=0,0295
220 – 230 61 61200
612000=0,0305
230 – 240 30 30200
302000=0,015
240 - 250 14 14200
142000=0,007
Построить доверительные интервалы для математического ожидания mx и дисперсии Dx с доверительной вероятностью β=0,99.
Доверительный интервал для математического ожидания: I=mx-εβ;mx+εβ,где εβ=tβ∙Dn с учетом заданной доверительной вероятности β=0,99, то есть Pmx-εβ<mx<mx+εβ=β.
По таблице Стьюдента по доверительной вероятности β=0,99 (или уровню значимости α=1-β=1-0,99=0,01) и числу степеней свободы f=n-1=200-1=199 находим t0,99=2,58.
Тогда
εβ=tβ∙Dxn=2,58∙153,04200≈2,26
I=mx-εβ;mx+εβ=220,85-2,26;220,85+2,26=218,59;223,11 – доверительный интервал для математического ожидания.
Математическое ожидание mx находится в этом интервале с вероятностью 0,99, то есть
P218,59<mx< 223,11=0,99
Доверительный интервал для дисперсии с учетом заданной доверительной вероятности β=0,99: PD1<D<D2=β.
Построим доверительный интервал для дисперсии
PD1<D<D2=β, где D1=n-1Dxχ12; D2=n-1Dxχ22
χ12=χ1-β22=122f-1+uβ/22; χ22=χ1+β22=122f-1-uβ/22
f=n-1 – число степеней свободы; uβ/2 – значение аргумента функции Лапласа, то есть Фuβ2=β2.
В нашем случае f=n-1=199, Фuβ2=0,992=0,495, тогда uβ2=2,58.
χ12=χ0,0052=122f-1+u0,99/22=122∙199-1+2,582≈253,23
χ22=χ0,9952=122f-1-u0,99/22=122∙199-1-2,582≈150,42
D1=n-1Dxχ12=200-1∙153,04253,23≈120,27
D2=n-1Dxχ22=200-1∙153,04150,42≈202,47
I=120,27; 202,47 – доверительный интервал для дисперсии, то есть
P120,27<D<202,47=0,99