Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи между расходами домашних хозяйств и

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи между расходами домашних хозяйств и индексом человеческого развития. Рассчитайте оценки параметров уравнения парной линейной регрессии. Оцените тесноту связи между признаками с помощью выборочного коэффициента корреляции (rвыб). Проверьте значимость коэффициента корреляции (α = 0,05). Рассчитайте выборочный коэффициент детерминации (R2выб). Сделайте экономический вывод. Проверьте значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α = 0,05. Постройте 95% доверительный интервал для коэффициента регрессии b. Дайте экономическую интерпретацию. Проверьте значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α = 0,05. Постройте 95% доверительный интервал для свободного члена уравнения а. Составьте таблицу дисперсионного анализа. Оцените с помощью F-критерия Фишера-Снедекора значимость уравнения линейной регрессии (α = 0,05). Рассчитайте индекс человеческого развития (), если расходы домашних хозяйств составят 80% к ВВП. Постройте 95% доверительный интервал для прогнозного значения объясняемой переменной (). Сделайте экономический вывод. Рассчитайте средний коэффициент эластичности (Э). Сделайте экономический вывод. Проверьте гипотезу Н0: b = b0 , (b0 = 0,01). На поле корреляции постройте линию регрессии.

Строим поле корреляции (диаграмму рассеивания), для чего на координатную плоскость Оху наносим точки с координатами (хi,уi) (рис.1).
Рис.1 – Поле корреляции
По виду точек на диаграмме делаем предположение о прямой линейной зависимости между переменными х и у (расходами домашних хозяйств и индексом человеческого развития).
2) Уравнение линейной регрессии ищем в виде .
Для нахождения коэффициентов регрессии воспользуемся методом наименьших квадратов, для чего составим расчетную таблицу 1.
Таблица 1 – Расчетная таблица для нахождения коэффициентов регрессии
i xi
yi
x2i y2i xiyi
1 57 0,71 3249 0,5041 40,47
2 67 0,8 4489 0,64 53,6
3 78 0,95 6084 0,9025 74,1
4 64 0,77 4096 0,5929 49,28
5 83 0,95 6889 0,9025 78,85
6 75 0,89 5625 0,7921 66,75
7 88 0,99 7744 0,9801 87,12
8 61 0,8 3721 0,64 48,8
9 71 0,86 5041 0,7396 61,06
10 82 0,95 6724 0,9025 77,9
Σ 726 8,67 53662 7,5963 637,93
Средние 72,6 0,867 5366,2 0,75963 63,793
По данным таблицы 1 определяем следующие величины:
– выборочные средние:
– вспомогательные величины:
– выборочные дисперсии и среднеквадратические отклонения:
Определим коэффициенты линейной зависимости у от х. Согласно методу наименьших квадратов они находятся по формулам
Поэтому коэффициенты регрессии будут равны:
Тогда уравнение связи будет иметь вид .
Коэффициент линейной регрессии формально показывает индекс человеческого развития (%) при нулевых расходах домашних хозяйств (в % к ВВП), но фактически не имеет экономического смысла. Коэффициент показывает, что при увеличении расходов домашних хозяйств на 1% к ВВП индекс человеческого развития увеличивается в среднем на 0,0089%.
3) Оценим тесноту связи с помощью выборочного коэффициента корреляции:
.
Данное значение коэффициента корреляции позволяет судить о прямой весьма высокой линейной зависимости между переменными х и у.
Проверим значимость коэффициента корреляции. Для этого рассмотрим нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции между переменными х и у. Вычисляем наблюдаемое значение t-статистики:
Для уровня значимости α=0,05 при степенях свободы ν=n–2=10–2=8 по таблице распределения Стьюдента находим критическое значение статистики
.
Так как , то нулевая гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции отвергается

.
Таким образом, коэффициент корреляции статистически значим.
4) Вычислим теперь коэффициент детерминации:
.
Коэффициент детерминации R2выб показывает, что доля разброса зависимой переменной, объясняемая регрессией у на х, равна 95,1%, что говорит о том, что практически индекс человеческого развития (у) на 95,1% зависит от расходов домашних хозяйств (х), остальные 4,9% вариации результативного признака обусловлены неучтенными факторами.
5) Найдем остаточную дисперсию и стандартную ошибку регрессии соответственно по формулам
и ,
где – отклонения между выборочными значениями результативного признака и соответствующими значениями, полученными по уравнению регрессии; n=10 – количество наблюдений; m=1 – количество факторов.
Составим расчетную таблицу 2.
Таблица 2 – Расчетная таблица
i xi
yi
ei
e2i |ei|/yi
1 57 0,71 0,72826 -0,018261 0,0003335 0,0257
2 67 0,8 0,8172 -0,017196 0,0002957 0,0215
3 78 0,95 0,91503 0,0349749 0,0012232 0,0368
4 64 0,77 0,79052 -0,020516 0,0004209 0,0266
5 83 0,95 0,95949 -0,009493 9,011E-05 0,0100
6 75 0,89 0,88834 0,0016555 2,741E-06 0,0019
7 88 0,99 1,00396 -0,013961 0,0001949 0,0141
8 61 0,8 0,76383 0,0361651 0,0013079 0,0452
9 71 0,86 0,85277 0,0072297 5,227E-05 0,0084
10 82 0,95 0,9506 -0,000599 3,592E-07 0,0006
Σ 726 8,67 8,67   0,0039216 0,1909
Средние 72,6 0,867 0,867     0,01909
Используя данные таблицы 2, находим остаточную дисперсию:
и стандартную ошибку регрессии:
.
Определяем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле
,
где S – стандартная ошибка регрессии.
Получим
.
Вычислим наблюдаемое значение t-статистики для коэффициента регрессии:
Для уровня значимости α=0,05 при степенях свободы ν=n–2=8 по таблице распределения Стьюдента находим критическое значение статистики
.
Так как , то коэффициент регрессии значим (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
6) Найдем 95% доверительный интервалы для коэффициента регрессии b:
Таким образом, с вероятностью 95% при увеличении расходов домашних хозяйств на 1% к ВВП индекс человеческого развития увеличивается в среднем в границах от 0,0072% до 0,0105%.
7) Определяем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле
.
Получим
Вычислим наблюдаемое значение t-статистики для коэффициента регрессии:
.
Для уровня значимости α=0,05 при степенях свободы ν=n–2=8 по таблице распределения Стьюдента находим критическое значение статистики
.
Так как , то коэффициент регрессии значим (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
8) Найдем 95% доверительный интервалы для коэффициента регрессии а:
9) С помощью процедуры АНАЛИЗ ДАННЫХ в Excel составим таблицу дисперсионного анализа (табл.3).
Таблица 3 – Таблица дисперсионного анализа
  df
SS MS F Значимость F
Регрессия 1 0,0754884 0,075488416 153,995755 1,65946E-06
Остаток 8 0,0039216 0,000490198
Итого 9 0,07941      
10) Для проверки значимости уравнения регрессии проверяем нулевую гипотезу о значимости коэффициента детерминации R2:
H0: R2=0
при конкурирующей гипотезе
H1: R2>0.
Для проверки данной гипотезы используем следующую F-статистику:
,
где
n=10 –количество наблюдений,
m=1 – количество оцениваемых коэффициентов регрессии.
Получим
.
Для проверки нулевой гипотезы при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν1=m=1 и ν2=n–m–1=10–1–1=8 по таблице критических точек распределения Фишера находим критическое значение
Fкр.=Fα;m;n-m-1= F0,05;1;8=5,32.
Поскольку F>Fкр, то нулевая гипотеза отвергается