При исследовании нового прибора сделано 45 измерений одной и той же величины, истинное значение

При исследовании нового прибора сделано 45 измерений одной и той же величины, истинное значение которой было известно. В таблице помещены истинные ошибки результатов измерений. 0 5 0 -1 -3 5 7 -1 0 1 2 2 5 -1 -1 0 0 1 0 -1 1 1 0 2 2 2 1 -1 0 2 -3 -1 0 0 -1 -1 1 0 0 -1 1 -1 1 -1 1 Составить закон распределения выборки тремя способами. Построить кумулятивную кривую. Найти взвешенную среднюю арифметическую величину выборки. Определить показатели вариации. Найти моду и медиану. Реализовать правило трех сигм.

Число интервалов:n1 3,2lg n 1 3,2lg45 6,5=7
Интервала определяется по формуле: ,
где n – число групп.
Xmax – максимальное значение группировочного признака, у нас – 7;
Xmin – минимальное значение группировочного признака, у нас – -3;
k – число групп, у нас – 5 (по условию).
Имеем:i=7-(-3)7=1,43
Построим таблицу для расчета показателей.
Таблица 1.2
Группы Середина интервала, xцентр Кол-во, fi xi·fi Накопленная частота, S |x-xср|·fi (x-xср)2·fi Относительная частота, fi/f
-3 - -1.57 -2.285 2 -4.57 2 5.911 17.468 0.0444
-1.57 - -0.14 -0.855 12 -10.26 14 18.304 27.92 0.267
-0.14 - 1.29 0.575 21 12.075 35 2.002 0.191 0.467
1.29 - 2.72 2.005 6 12.03 41 8.008 10.688 0.133
2.72 - 4.15 3.435 0 0 41 0 0 0
4.15 - 5.58 4.865 3 14.595 44 12.584 52.786 0.0667
5.58 - 7.01 6.295 1 6.295 45 5.625 31.637 0.0222
Итого
45 30.165
52.433 140.689 1
Средняя взвешенная (выборочная средняя):
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
Среднее квадратическое отклонение.
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 0.67 в среднем на 1.768
Оценка среднеквадратического отклонения.
Проверка гипотез о виде распределения.
1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
где pi — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону
Для вычисления вероятностей p применим формулу и таблицу функции Лапласа где
= 1.768, xср = 0.67
Теоретическая (ожидаемая) частота равна fi = fpi, где f = 45
Вероятность попадания в i-й интервал: pi = Ф(x2) - Ф(x1)
Таблица 1.3
xi÷xi+1 fi x1 = (xi - xср)/s x2 = (xi+1 - xср)/s Ф(x1) Ф(x2) pi=Ф(x2)-Ф(x1) Ожидаемая частота, 45pi Слагаемые статистики Пирсона, Ki
-3 - -1.57 2 -2.0526 -1.2529 -0.4803 -0.3962 0.0841 3.7845 0.8414
-1.57 - -0.14 12 -1.2529 -0.4532 -0.3962 -0.1772 0.219 9.855 0.4669
-0.14 - 1.29 21 -0.4532 0.3465 -0.1772 0.1368 0.314 14.13 3.3402
1.29 - 2.72 6 0.3465 1.1462 0.1368 0.3749 0.2381 10.7145 2.0744
2.72 - 4.15 0 1.1462 1.946 0.3749 0.4744 0.0995 4.4775 4.4775
4.15 - 5.58 3 1.946 2.7457 0.4744 0.4971 0.0227 1.0215 3.8321
5.58 - 7.01 1 2.7457 3.5454 0.4971 0.49984 0.00274 0.1233 6.2336
Итого 45
21.2661
Определим границу критической области

.
Kkp = χ2(7-2-1;0.05) = 9.48773; Kнабл = 21.27
Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по нормальному закону.
Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности.
Среднее значение равно 0.6703.
Следовательно, параметр λ =1/0.6703 = 1.49
Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид:
f(x) = 1.49e-1.49x, x ≥ 0
Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:
Pi = P(xi < X < xi+1) = e-λxi - e-λxi+1
P1 = (-3 < X < -1.57) = 87.8284 - 10.4033 = 77.4252, ni = 45 • 77.4252 = 3484.13
P2 = (-1.57 < X < -0.14) = 10.4033 - 1.2323 = 9.171, ni = 45 • 9.171 = 412.69
P3 = (-0.14 < X < 1.29) = 1.2323 - 0.146 = 1.0863, ni = 45 • 1.0863 = 48.88
P4 = (1.29 < X < 2.72) = 0.146 - 0.01729 = 0.1287, ni = 45 • 0.1287 = 5.79
P5 = (2.72 < X < 4.15) = 0.01729 - 0.00205 = 0.01524, ni = 45 • 0.01524 = 0.69
P6 = (4.15 < X < 5.58) = 0.00205 - 0.000243 = 0.00181, ni = 45 • 0.00181 = 0.0812
P7 = (5.58 < X < 7.01) = 0.000243 - 2.9E-5 = 0.000214, ni = 45 • 0.000214 = 0.00962
Объединим малочисленные частоты: (0.01524 + 0.00181 + 0.000214) и соответствующие им теоретические частоты: (0.6859 + 0.08124 + 0.00962)
i ni n*i ni - n*i (ni - n*i)2 (ni - n*i)2/n*i
1 2 3484.13 -3482.13 12125254.15 3480.14
2 12 412.69 -400.69 160556.09 389.04
3 21 48.88 -27.88 777.49 15.91
4 6 5.79 0.21 0.044 0.008
5 4 0.78 3.22 10.39 13.38
Итого 45
3898.47
Определим границу критической области