Разработчик СМО располагает двумя каналами обслуживания. Интенсивность обслуживания одним каналом заявок в час. Время

Разработчик СМО располагает двумя каналами обслуживания. Интенсивность обслуживания одним каналом заявок в час. Время обслуживания распределено по показательному закону. Входящий поток заявок простейший с интенсивностью заявок в час. Возможны два варианта проекта: вариант 1 – две независимо работающих одноканальных безотказных СМО(1; ; /2 ; ); вариант 2 – одна двухканальная безотказная СМО( 2 ; ; ; ) . Провести сравнительный анализ вариантов по следующим показателям эффективности: среднее число занятых каналов; средняя длина очереди; среднее время пребывания заявки в системе. Провести аналогичный сравнительных анализ в том случае, если при тех же условиях разработчик располагает средствами для организации m мест в очереди для ожидания обслуживания. Рассмотреть два варианта: вариант 1 – две независимо работающих одноканальных СМО(1; m/2; /2; ); вариант 2 – одна двухканальная СМО(2; m; ; ) . Указание: всюду вектор (а1; а2; а3; а4) имеет компоненты: а1 – число каналов обслуживания; а2 – число мест в очереди; а3 – интенсивность входного потока; а4 – интенсивность потока обслуживания. 8. λ=12, µ=7,m=6

Рассмотрим все возможные варианты организации обслуживания.
Вариант 1. Две независимо работающие одноканальные СМО без отказов. СМО(1; ; 6 ; 7 )
Вычисляем нагрузку на СМО:
ρ=λµ=67
Определяем показатели работы СМО:
- вероятность простоя системы:
p0=1-ρ=1-67=17
- среднее число занятых каналов:
k=ρ=67
- средняя длина очереди:
Lоч=ρ21-ρ=6721-67=367≈5,1429
- среднее время пребывания заявки в системе:
tсист=Lоч+kλ=367+676=1 (час)
Т.к. у нас имеется две одинаковых СМО, то вдвое увеличивается среднее число занятых приборов и количество заявок в очереди (среднее время пребывания в системе остается неизменным):
k=2∙67=127≈1,7143
Lоч=2∙5,1429=10,2858
tсист=1 (час)
Вариант 2. Двухканальная СМО без отказов. СМО( 2 ; ; 12 ; 7 )
Вычисляем нагрузку на СМО:
ρ=λµ=127≈1,7143
Определяем показатели работы СМО:
- вероятность простоя системы:
p0=1k=0nρkk!+ρn+1n!n-ρ=1k=02127kk!+1272+12!2-127=113
- среднее число занятых каналов:
k=ρ=1,7143
- средняя длина очереди:
Lоч=ρn+1n∙n!1-ρn2p0=1272+12∙2!1-12722∙113≈4,7473
- среднее время пребывания заявки в системе:
tсист=Lоч+kλ=4,7473+1,714312≈0,5385 час
Сравнивая показатели работы первых двух вариантов СМО убеждаемся в том, что объединение однотипных каналов в одну систему повышает эффективность работы: в нашем случае при одинаковой загрузке каналов обслуживания происходит уменьшение времени пребывания заявки в системе практически вдвое.
Вариант 3

. Две независимо работающие одноканальные СМО c ограниченным числом мест ожидания. СМО(1; 3 ; 6 ; 7 )
Нагрузка на СМО:
ρ=67
Вычисляем вероятность отсутствия заявок в системе:
p0=1-ρ1-ρm+2=1-671-673+2≈0,2659
Вероятность отказа в обслуживании:
Pотк=p4=ρ4∙p0=674∙0,2659≈0,1435
Среднее число занятых каналов:
k=1-p0=1-0,2659=0,7341
Среднюю длину очереди удобнее вычислить с помощью вероятностей состояний:
Lоч=p0∙ρ2+2ρ3+3ρ4=0,2659672+2∙673+3∙674≈0,9608
Среднее время пребывания заявки в системе (как сумма времен ожидания и обслуживания, с учетом заявок, получивших отказ в обслуживании):
tсист=Lочλ+1-Pоткµ=0,96086+1-0,14357≈0,2825 (час)
Т.к