С учетом вариантов сложившегося на рынке поведения покупателей в микрорайоне города коммерческое предприятие разработало

С учетом вариантов сложившегося на рынке поведения покупателей в микрорайоне города коммерческое предприятие разработало несколько технологий продажи товаров. Возможные варианты среднедневного товарооборота (в млн. руб.) в зависимости от различных сочетаний и приведены в матрицах: Матрица 1 Игроки В1 В2 В3 В4 А1 14 23 16 14 А2 14 16 10 4 А3 4 4 14 16 А4 1 23 10 10 Матрица 2 Игроки В1 В2 В3 В4 А1 7 10 1 12 А2 1 7 19 12 А3 7 10 12 1 А4 12 7 7 7 Матрица 3 Игроки В1 В2 В3 В4 B5 А1 3 9 3 12 20 А2 0 20 0 15 9 А3 – 5 9 0 3 9 А4 3 9 3 12 12 Требуется: Определить верхние и нижние значения товарооборота коммерческого предприятия. Найти седловую точку игры, если она есть. Используя оптимальные чистые стратегии и чистую цену игры, сделайте выводы экономического характера.

Проанализируем Матрицу 1:
Матрица 1
Игроки В1
В2
В3 В4
А1
14 23 16 14
А2
14 16 10 4
А3 4 4 14 16
А4
1 23 10 10
1. Применим к данной игре принцип доминируемости, т.е. уберем стратегии, заведомо невыгодные игрокам.
Т.к. игрок 1, выбирая 2-ю стратегию А2, заведомо в любой ситуации получит не больший выигрыш, чем выбирая свою 1-ю стратегию (т.к. a2j ≤ a1j, j= 1,2,3,4), то 2-ю стратегию игрока 1 можно исключить из рассмотрения, а из платежной матрицы убрать 2-ю строку.
Т.к. игрок 1, выбирая 4-ю стратегию А4, заведомо в любой ситуации получит не больший выигрыш, чем выбирая свою 1-ю стратегию (т.к. a4j ≤ a1j, j= 1,2,3,4), то 4-ю стратегию игрока 1 можно исключить из рассмотрения, а из платежной матрицы убрать 4-ю строку.
Получим матрицу
Игроки В1
В2
В3 В4
А1
14 23 16 14
А3 4 4 14 16
Уберем стратегии, заведомо невыгодные игроку В. Т.к. игрок 2, выбирая 2-ю стратегию, заведомо в любой ситуации получит не меньший проигрыш, чем выбирая свою 1-ю стратегию (т.к. ai2 ≥ ai1, i= 1,2), то 2-ю стратегию игрока 2 можно исключить из рассмотрения, а из платежной матрицы убрать 2-й столбец.
Т.к. игрок 2, выбирая 3-ю стратегию, заведомо в любой ситуации получит больший проигрыш, чем выбирая свою 1-ю стратегию (т.к. ai3 > ai1, i= 1,2), то 3-ю стратегию игрока 2 можно исключить из рассмотрения, а из платежной матрицы убрать 3-й столбец.
Т.к. игрок 2, выбирая 4-ю стратегию, заведомо в любой ситуации получит не меньший проигрыш, чем выбирая свою 1-ю стратегию (т.к. ai4 ≥ ai1, i= 1,2), то 4-ю стратегию игрока 2 можно исключить из рассмотрения, а из платежной матрицы убрать 4-й столбец.
В итоге получим матрицу
Игроки В1
А1
14
А3 4
Определим наличие седловой точки
Найдем нижнюю цену игры, для этого добавим к платёжной матрице новый столбец, состоящий из минимумов по каждой строке.
Верхним значением товарооборота предприятия является значение 14, нижним значением товарооборота предприятия является его наименьший товарооборот, т.е. значение 1.
Игроки В1
В2
В3 В4
min aij
по строке
А1
14 23 16 14 14
А2
14 16 10 4 4
А3 4 4 14 16 4
А4
1 23 10 10 1
max aij
по столбцу 14 23 16 16
В последнем столбце среди минимумов найдем максимум, он равен 14

. Т.е. нижняя цена игры v1 = 14, ее значение соответствует строке i = 1.
Найдем верхнюю цену игры, для этого добавим к платёжной матрице новую строку, состоящую из максимумов по каждому столбцу.
В последней строке среди максимумов найдем минимум. Т.е. верхняя цена игры v2 = 14, ее значение соответствует столбцу j = 1.
Т.к. нижняя и верхняя цены игры совпадают, v1 = v2 = 14, то игра имеет цену игры в чистых стратегиях v = 14, и имеет седловую точку, которая является ситуацией, находящейся на пересечении строк и столбцов тех ячеек, в которых содержится цена игры. Таким образом, седловой точкой игры является ситуация: (1;1).
Оптимальной чистой стратегией коммерческого предприятия является стратегия А1.
Проанализируем Матрицу 2:
Матрица 2
Игроки В1
В2
В3 В4
А1
7 10 1 12
А2
1 7 19 12
А3 7 10 12 1
А4
12 7 7 7
Применим к данной игре принцип доминируемости, т.е. уберем стратегии, заведомо невыгодные игрокам.
Матрицу 2 нельзя упростить
В платежной матрице отсутствуют доминирующие  строки. В  платежной матрице отсутствуют доминирующие столбцы.
Определим наличие седловой точки
Найдем нижнюю цену игры, для этого добавим к платёжной матрице новый столбец, состоящий из минимумов по каждой строке.
Верхним значением товарооборота предприятия является значение 7, нижним значением товарооборота предприятия является его наименьший товарооборот, т.е. значение 1.
Игроки В1
В2
В3 В4
min aij
по строке
А1
7 10 1 12 1
А2
1 7 19 12 1
А3 7 10 12 1 1
А4
12 7 7 7 7
max aij
по столбцу 12 10 19 12
В последнем столбце среди минимумов найдем максимум, он равен 7. Т.е. нижняя цена игры v1 = 7, ее значение соответствует строке i = 4.
Найдем верхнюю цену игры, для этого добавим к платёжной матрице новую строку, состоящую из максимумов по каждому столбцу.
В последней строке среди максимумов найдем минимум. Т.е. верхняя цена игры v2 = 10, ее значение соответствует столбцу j = 2.
Т.к. нижняя и верхняя цены игры не совпадают, v1 v2, то игра не имеет цену игры в чистых стратегиях и не имеет седловую точку, т.е. коммерческое предприятие не имеет оптимальную чистую стратегию.
Проанализируем Матрицу 3:
Матрица 3
Игроки В1
В2
В3 В4
B5
А1
3 9 3 12 20
А2
0 20 0 15 9
А3 – 5 9 0 3 9
А4
3 9 3 12 12
1