Так как n=10 и x=2 N=n4+x=104+2=2,5+2=2+2=4 В задачах 9 – 14 принять, что скорость нагревания (или

Так как n=10 и x=2 N=n4+x=104+2=2,5+2=2+2=4 В задачах 9 – 14 принять, что скорость нагревания (или остывания) тела пропорциональна разности температуры тела и температуры окружающей среды. Тогда функция yt, где y – температура тела, а t – время, подчиняется закону y'=kh-y. Здесь k – коэффициент теплообмена, ht – температура окружающей среды. Задача_10. Кусок металла с температурой 25℃ помещен в печь, температура которой равномерно повышается от 25℃ со скоростью 20 ℃ за минуту. При разности температур печи и металла в T градусов металл нагревается со скоростью 40T градусов в минуту. Найти температуру тела через 30 мин.

Согласно условию имеем
y'=kh-y
где y=Tм – температура металла;
h=Tп – температура печи;
k=40 – коэффициент теплообмена.
Причем в силу равномерного повышения температуры печи имеем Tп=25+20t, где t – время нагрева, измеряемое в минутах.
Таким образом, дифференциальное уравнение
Можно записать в виде:
y'=40∙25+20t-y
y'+40y=1000+800t
Это уравнение вида:
y'+Pty=Qt
где Pt=40 и Qt=1000+800t
Решим соответствующее линейное однородное уравнение y'+Pty=0.
Данное уравнение решается как уравнение с разделяющимися переменными:
dydt=-40y
dyy=-40dt
dyy=-40dt
lny=-40t+C
y=Ce-40t
Теперь для нахождения общего решения исходного линейного неоднородного уравнения используем метод вариации произвольных постоянных, т.е . ищем это решение в виде
yt=Cte-40t
Подставим выражение в исходное уравнение имеем
y'+40y=1000+800t
Cte-40t'+40Cte-40t=1000+800t
C'te-40t-40Cte-40t+40Cte-40t=1000+800t
C'te-40t=1000+800t
C't=1000+800te40t
Восстановим функции интегрированием
Ct=1000+800te40tdt=1000e40tdt+800te40tdt=
=100040e40t+800t∙e40t40-e40t1600+C=25e40t+20te40t-12e40t+C
Подставляем найденные Ct в yt.
Получаем окончательный ответ:
yt=25e40t+20te40t-12e40t+Ce-40t
yt=24,5+20t+C∙e-40t
Зная, что в начальный момент времени температура куска металла равна 25℃, то есть y0=25, вычислим значение произвольной постоянной:
24,5+20∙0+C∙e-40∙0=25
24,5+C∙e0=25
C=25-24,5=0,5
В результате получаем:
yt=24,5+20t+0,5∙e-40t
Определим температуру куска металла через 30 мин.:
y30=24,5+20∙30+0,5∙e-40∙30=624,5+0,5e1200≈624,5
Проинтегрируем его обе части, получим:
dy0,012∙y2+10=-dt
dy0,012∙y2+10=dy0,012∙y2+102=10,012d0,012∙y0,012∙y2+102=
=10,012∙110arctg0,012y10+C1=10,12arctg0,0012y+C1
dt=t+C2
Соберем интеграл вместе
10,12arctg0,0012y+C1=- t-C2
arctg0,0012y+0,12t+0,12C=0
Решением дифференциальное уравнение является функция
y=100,12∙tg0,12C-t
Так как y0=20, то найдем произвольную постоянную:
C=10,12arctg20,12
Зная то, что v=0 соответствует наибольшей высоте, имеем t=C≈1,75 c.
Следовательно, время подъема мяча равно t=1,75 c

. ищем это решение в виде
yt=Cte-40t
Подставим выражение в исходное уравнение имеем
y'+40y=1000+800t
Cte-40t'+40Cte-40t=1000+800t
C'te-40t-40Cte-40t+40Cte-40t=1000+800t
C'te-40t=1000+800t
C't=1000+800te40t
Восстановим функции интегрированием
Ct=1000+800te40tdt=1000e40tdt+800te40tdt=
=100040e40t+800t∙e40t40-e40t1600+C=25e40t+20te40t-12e40t+C
Подставляем найденные Ct в yt.
Получаем окончательный ответ:
yt=25e40t+20te40t-12e40t+Ce-40t
yt=24,5+20t+C∙e-40t
Зная, что в начальный момент времени температура куска металла равна 25℃, то есть y0=25, вычислим значение произвольной постоянной:
24,5+20∙0+C∙e-40∙0=25
24,5+C∙e0=25
C=25-24,5=0,5
В результате получаем:
yt=24,5+20t+0,5∙e-40t
Определим температуру куска металла через 30 мин.:
y30=24,5+20∙30+0,5∙e-40∙30=624,5+0,5e1200≈624,5
Проинтегрируем его обе части, получим:
dy0,012∙y2+10=-dt
dy0,012∙y2+10=dy0,012∙y2+102=10,012d0,012∙y0,012∙y2+102=
=10,012∙110arctg0,012y10+C1=10,12arctg0,0012y+C1
dt=t+C2
Соберем интеграл вместе
10,12arctg0,0012y+C1=- t-C2
arctg0,0012y+0,12t+0,12C=0
Решением дифференциальное уравнение является функция
y=100,12∙tg0,12C-t
Так как y0=20, то найдем произвольную постоянную:
C=10,12arctg20,12
Зная то, что v=0 соответствует наибольшей высоте, имеем t=C≈1,75 c.
Следовательно, время подъема мяча равно t=1,75 c