В картотеке за последние 10 месяцев содержится следующая статистика по количеству аварий в месяц

В картотеке за последние 10 месяцев содержится следующая статистика по количеству аварий в месяц на улице Ленина посёлка Лемпеситская: [1, 1, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 0, 3]. Предположим что все аварии являются независимыми случайными величинами (что, конечно, не так, потому что, например, зимой аварий обычно больше чем летом) и подчиняются закону Пуассона. Нас интересует какая вероятность того что в отдельно взятом месяце не случится ни одной аварии: θ = P(no accident) . Ваша задача: • (1 балл) найти оценку с помощью метода максимумального правдоподобия; • (1 балл) найти смещение оценки (аналитически или численно); • (1 балл) оценить дисперсию оценки с помощью дельта метода. Сравните по порядку величины дисперсию и смещение. Какие выводы можно сделать?

Для распределения Пуассона
Надо построить ОМП для .
Оценивается взаимооднозначная параметрическая функция. По свойству инвариантности ОМП-оценок
Построим .
Функция правдоподобия выборки
Найдем максимум LnL
Так как производная второго порядка отрицательна, найденная критическая точка – точка максимума.
По выборке [1, 1, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 0, 3]
2)
Сумма независимых случайных величин, имеющих распределение Пуассона, также имеет распределение Пуассона с параметром, равном сумме параметров слагаемых . Поэтому имеет распределение Пуассона с параметром .
Получили ряд для экспоненты
Оценка смещенная, так как
Величина смещения
Оценка асимптотически несмещенная
По выборке объема n=10 величина смещения
3)
По дельта методу асимптотическая дисперсия функции от оценки максимального правдоподобия
, где
Информация Фишера
Сравним по порядку величины дисперсию и смещение.
Замена x=1/n
По правилу Лопиталя
Смещение имеет более высокий порядок, чем дисперсия

. Поэтому имеет распределение Пуассона с параметром .
Получили ряд для экспоненты
Оценка смещенная, так как
Величина смещения
Оценка асимптотически несмещенная
По выборке объема n=10 величина смещения
3)
По дельта методу асимптотическая дисперсия функции от оценки максимального правдоподобия
, где
Информация Фишера
Сравним по порядку величины дисперсию и смещение.
Замена x=1/n
По правилу Лопиталя
Смещение имеет более высокий порядок, чем дисперсия