В парикмахерской работают 3 мастера. Посетители приходят в парикмахерскую в соответствии с пуассоновским распределением

В парикмахерской работают 3 мастера. Посетители приходят в парикмахерскую в соответствии с пуассоновским распределением со средней частотой 4 человека в час. Стрижка в среднем длится 0,5 часа, и продолжительность стрижки распределена по экспоненциальному закону. Требуется определить следующее: а) вероятность того, что в парикмахерской не окажется ни одного посетителя; б) вероятность того, что все мастера будут заняты; в) среднюю длину очереди в ожидании стрижки; г) среднее время ожидания посетителя в очереди.

Рассматриваемая система массового обслуживания (СМО) является многоканальной с неограниченной длиной очереди. Перепишем условие в терминах теории массового обслуживания:
n=3 – число каналов обслуживания;
λ=4 заявки/час – интенсивность потока заявок;
часа – время обслуживания заявки;
заявки/час – интенсивность потока обслуживания;
– интенсивность нагрузки.
.
Определяем показатели функционирования СМО.
Поскольку , то процесс обслуживания будет стабилен.
Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
EQ p0 = \f(1;∑\f(ρk;k!)) = EQ \f(1;\f(20;0!) + \f(21;1!) + \f(22;2!) + \f(23;3!) + \f(23+1;3!(3 - 2))) = EQ 0.111
Следовательно, 11.1% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 6.7 мин

.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 21/1!*0.111 = 0.222
заняты 2 канала:
p2 = ρ2/2! p0 = 22/2!*0.111 = 0.222
заняты 3 канала:
p3 = ρ3/3! p0 = 23/3!*0.111 = 0.148
Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).
Поскольку отказ в обслуживании в таких системах не может быть, то
pотк = 0
Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
Относительная пропускная способность: Q = pобс = 1.
Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).
nз = ρ = 2 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 3 - 2 = 1 канала