В производстве пользующихся спросом двух изделий, А и В, принимают участие 3 цеха фирмы.. 2

В производстве пользующихся спросом двух изделий, А и В, принимают участие 3 цеха фирмы. На изготовление одного изделия А 1-й цех затрачивает 7 ч., 2-й цех – 7 ч., 3-й цех – 8 ч. На изготовление одного изделия В 1-й цех затрачивает 5 ч., 2-й цех – 2 ч., 3-й цех – 1 ч. На производство обоих изделий 1-й цех может затратить не более 347 ч., 2-й цех – не более 300 ч., 3-й цех – не более 357 ч. От реализации одного изделия А фирма получает доход 11 тыс. руб., изделия В – 7 тыс. руб. Определить оптимальный план производства изделий, обеспечивающий максимальный доход от реализации всех изделий А и В.

Математическая модель задачи
Переменные задачи:
x1 – количество изделий А, ед;
x2 – количество изделий В, ед.
Тогда затраты времени цехов составят:
7x1+5x2 – затраты 1-го цеха, час;
7x1+2x2 – затраты 2-го цеха, час;
8x1+x2 – затраты 3-го цеха, час.
Ограничения:
На производство обоих изделий 1-й цех может затратить не более 347 ч., 2-й цех – не более 300 ч., 3-й цех – не более 357 ч., значит, должны выполняться неравенства:
7x1+5x2≤347 (1)
7x1+2x2≤300(2)
8x1+x2≤357(3)
По смыслу задачи переменные должны быть неотрицательными числами:
xi≥0, i=1,2(4)
Целевая функция:
Доход от реализации изделий (тыс. руб.)
F=11x1+7x2(5)
Таким образом, получена математическая модель задачи:
Найти максимальное значение функции F=11x1+7x2 при условиях:
7x1+5x2≤347 7x1+2x2≤3008x1+x2≤357xi≥0, i=1,2
Решение задачи графическим методом
Определение области допустимых решений (ОДР)
В неравенствах системы ограничений заменим знаки неравенств на знаки точных равенств и построим соответствующие им прямые.
l1:7x1+5x2=347
x2=3475-75x1
Строим прямую l1 по двум точкам:
x1
-10 55
x2
83,4 -7,6
l2: 7x1+2x2=300
x2=150-3,5x1
Строим прямую l2 по двум точкам:
x1
20 50
x2
80 -25
l3: 8x1+x2=357
x2=357-8x1
Строим прямую l3 по двум точкам:
x1
35 60
x2
77 -43
l4: x1=0 – ось ординат
l5: x2=0 – ось абсцисс
Строим полученные прямые (рис. 1).
Рис. 1. Прямые, определяющие неравенства системы органичений
Определяем полуплоскости, удовлетворяющие неравенствам системы ограничений: их пересечение образует область допустимых решений.
Каждая из построенных прямых делит плоскость на две полуплоскости. Координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют исходному неравенству системы ограничений, а другой – нет. Чтобы определить искомую полуплоскость, нужно взять какую-либо точку, принадлежащую одной из полуплоскостей, и проверить, удовлетворяют ли ее координаты исходному неравенству. Если удовлетворяют, то искомой является та полуплоскость, которой эта точка принадлежит; в противном случае – другая полуплоскость.
Прямая l1
Точка 0;0
Неравенство 7x1+5x2≤347
0+0≤347 – верное
Т.е

. выбираем полуплоскость, содержащую точку (0;0)
Прямая l2
Точка 0;0
Неравенство 7x1+2x2≤300
0+0≤300 – верное
Т.е. выбираем полуплоскость, содержащую точку (0;0)
Прямая l3
Точка 0;0
Неравенство 8x1+x2≤357
0+0≤357 – верное
Т.е. выбираем полуплоскость, содержащую точку (0;0)
Четвертое и пятое неравенства определяют первую координатную четверть.
Получим область допустимых решений задачи линейного программирования (рис. 2).
Рис. 2. Область допустимых решений
Многоугольник ОABC – область допустимых решений.
Определение оптитмального решения
Координаты любой точки, принадлежащей ОДР, удовлетворяют неравенствам системы ограничений и условию неотрицательности переменных. Поэтому исходная задача будет решена, если мы сможем найти точку, принадлежащую этой области, в которой целевая функция принимает максимальное значение. Чтобы найти такую точку, построим прямую (линию уровня) 11x1+7x2=h, проходящую через многоугольник решений.
Возьмем h=120 и построим прямую 11x1+7x2=120 по точкам:
x1
-10 30
x2
32,86 -30
Вектор c(11;7) служит для определения направления перемещения линии уровня. В качестве вектора направления выберем вектор c1(22;14), сонаправленный вектору c (в масштабах рисунка его удобней использовать), Перемещая линию уровня в направлении вектора c1, получаем, что последней общей точкой ее и области допустимых решений является точка B пересечения прямых l2 и l1 (рис. 3).
Рис. 3. Нахождение оптимального плана графическим методом
Для определения координат точки В составим и решим систему уравнений:
7x1+5x2=347 7x1+2x2=300 ⇔x1=3477-57x2 3x2=47 ⇔x1=38821 x2=1523
Найдем соответствующее значение целевой функции:
Fmax=11∙38821+7∙1523=53167.
Таким образом, X*(38821;1523) – оптимальный план, при котором целевая функция принимает максимальное значение Fmax=53167.
Т.е., максимальная прибыль, равная 53167тыс