В зубоврачебном кабинете три кресла, а в коридоре имеются три стула для ожидания приема.

В зубоврачебном кабинете три кресла, а в коридоре имеются три стула для ожидания приема. Поток клиентов распределен по простейшему закону с интенсивностью 12 клиентов в час. Время обслуживания клиента распределено показательно со средним значением 20 минут. Если все три стула в коридоре заняты, клиенты в очередь не становятся. Определить среднее число клиентов, обслуживаемых кабинетом за час, среднюю долю обслуженных клиентов из числа пришедших и среднее время, которое клиент проведет в коридоре и в кабинете.

Имеем трехканальную систему массового обслуживания с очередью ограниченной длины l=3. Вычисляем нагрузку на СМО (время обслуживания выражаем в часах):
ρ=λtобсл=12∙2060=4
Определяем вероятность отсутствия заявок в системе:
P0=1k=0nρkk!+ρl+11-ρlnln!n-ρ=1k=034kk!+43+11-43333!3-4≈0,0122
Определяем вероятность отказа в обслуживании:
Pотк=ρn+ln!∙nlP0=43+33!∙33∙0,0122≈0,3078
Т.е . средняя доля обслуженных клиентов из числа пришедших составит:
Q=1-Pотк=1-0,3078=0,6922
А среднее число клиентов, обслуживаемых кабинетом за час:
A=λQ=12∙0,6922=8,3064
Определим среднюю длину очереди:
Lоч=k=1lkPn+k=ρnP0n!k=1lkρknk=43∙0,01223!∙k=13k4k3k≈1,558
Тогда среднее время ожидания обслуживания (среднее время, которое клиент проведет в коридоре):
Wоч=LочλQ=1,55812∙0,6922≈0,1878час≈11,2703(мин)
А среднее время пребывания в системе (среднее время, которое клиент проведет в кабинете):
Wc=Wоч+tобсл=11,2703+20=31,2703(мин)

. средняя доля обслуженных клиентов из числа пришедших составит:
Q=1-Pотк=1-0,3078=0,6922
А среднее число клиентов, обслуживаемых кабинетом за час:
A=λQ=12∙0,6922=8,3064
Определим среднюю длину очереди:
Lоч=k=1lkPn+k=ρnP0n!k=1lkρknk=43∙0,01223!∙k=13k4k3k≈1,558
Тогда среднее время ожидания обслуживания (среднее время, которое клиент проведет в коридоре):
Wоч=LочλQ=1,55812∙0,6922≈0,1878час≈11,2703(мин)
А среднее время пребывания в системе (среднее время, которое клиент проведет в кабинете):
Wc=Wоч+tобсл=11,2703+20=31,2703(мин)