Текущая цена акции авиационной компании представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием

Текущая цена акции авиационной компании представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 28 у. е. и средним квадратическим отклонением 2,6 у. е.. Найти дифференциальную и интегральную функции распределения, построить их графики. Определить числовые характеристики. Найти вероятность того, что цена за акцию в случайно выбранный день будет между 14 и 29 у. е. Проиллюстрировать

У. е. – математическое ожидание, σ=2,6 у. е. – среднее квадратическое отклонение.
Дифференциальная функция распределения имеет вид
fNx=1σ2πe-x-m22σ2=12,62πe-x-2822∙2,62=12,62πe-x-28213,52
Интегральная функция распределения имеет вид
FNx=1σ2π-∞xe-z-m22σ2dz=12,62π-∞xe-z-28213,52dz
Для построения нормальной кривой используем свойство функции fNx и правило «3σ»:
Область определения функции fNx – вся числовая ось -∞; +∞.
Так как функция fNx может принимать только положительные значения fNx>0, то нормальная кривая расположена над осью 0x.
Ось 0x – горизонтальная асимптота нормальной кривой.
Нормальная кривая симметрична относительно прямой x=m=28.
Приблизительно все значения x заключены в трехсигмовом интервале: m-3σ;m+3σ=28-3∙2,6; 28+3∙2,6=20,2;35,8.
При x=m=28 нормальная кривая имеет максимум
fNm=1σ2π≈0,3989σ=0,39892,6≈0,1534
При xn=m±σ=28±2,6=25,4;30,6 нормальная кривая имеет перегиб
fNxn=1σ2πe≈0,2420σ=0,24202,6≈0,0931
Для построения графика интегральной функции распределения используем свойства функции FNx и правило «3σ»:
Функция FNx есть неубывающая и непрерывная функция.
Функция FNx есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: 0≤FN≤1.
FN-∞=0;FN+∞=1.
При x=m=28 функция FNx=0,5.
Приблизительно все значения x заключены в трехсигмовом интервале: m-3σ;m+3σ=28-3∙2,6; 28+3∙2,6=20,2;35,8.
Числовые характеристики нормальной случайной величины:
MX=Mo=Me=m=28 – математическое ожидание, моде и медиана.
DX=σ2=2,62=6,76 – дисперсия.
A=0 – коэффициент асимметрии.
ε=3 – коэффициент эксцесса, E=ε-3=0 – эксцесс.
Найдем вероятность того, что цена за акцию в случайно выбранный день будет между 14 и 29 у. е.
Вероятность того, что нормальная случайная величина X попадет в заданный интервал α; β
Pα<X<β=Фβ-mσ-Фα-mσ
где Фx=12π0xe-z22dz – функция Лапласа (значения которой находим по таблице).
Подставляя α=14, β=29, m=28, σ=2,6 и учитывая, что Ф-x=-Фx, получим
P14<X<29=Ф29-282,6-Ф14-282,6≈Ф0,38-Ф-5,38=Ф0,38+Ф5,38=0,148+0,5=0,648
С геометрической точки зрения, вычисленная вероятность численно равна площади, заполненной сером цветом области под нормальной кривой
25869902613025P14<X<29
00P14<X<29