Установить, может ли данная функция служить вещественной частью некоторой регулярной функции, и если может,

Установить, может ли данная функция служить вещественной частью некоторой регулярной функции, и если может, то восстановить эту регулярную функцию в виде . Убедиться, что полученная функция регулярна и удовлетворяет заданному условию. .

Заданная функция может служить вещественной частью некоторой регулярной функции, если она гармонична, то есть, удовлетворяет уравнению Лапласа:
.
Вычисляем частные производные второго порядка:
,
.
Так как , то заданная функция может служить вещественной частью некоторой регулярной функции .
Мнимую часть находим, используя условия Коши – Римана:
.
Интегрируем первое соотношение:
,
где зависит лишь от