Установить, может ли функция vx,y=e-2ycos2x служить мнимой частью некоторой регулярной функции и, если может,

Установить, может ли функция vx,y=e-2ycos2x служить мнимой частью некоторой регулярной функции и, если может, то восстановить эту регулярную функцию в виде fz. Убедиться, что найденная функция регулярна и удовлетворяет заданному условию.

Если функция fz=u(x,y)+iv(x,y)регулярна в некоторой области D, то ее действительная часть u(x, y) и мнимая часть v(x, y) являются гармоническими в этой области функциями, т.е. u(x, y), v(x, y) удовлетворяют уравнению Лапласа:
∂2u∂x2+∂2u∂y2=0; ∂2v∂x2+∂2v∂y2=0
Найдем частные производные функции v(x,y):
∂v∂x=-2e-2ysin2x; ∂2v∂x2=-4e-2ycos2x
∂v∂y=-2e-2ycos2x; ∂2v∂y2=4e-2ycos2x
Проверим, удовлетворяют ли частные производные уравнению Лапласа:
-4e-2ycos2x+4e-2ycos2x≡0
Т.е . функция v(x,y)является гармонической, а значит, существует регулярная функция с заданной мнимой u(x,y) частью. Чтобы восстановить аналитическую функцию f(z), воспользуемся условиями Коши-Римана:
∂u∂x=∂v∂y;∂u∂y=-∂v∂x
Из первого условия имеем:
∂u∂x=-2e-2ycos2x
Отсюда:
ux,y=-2e-2ycos2xdx=-e-2ysin2x+c(y)
Для нахождения c(x) используем второе равенство

. функция v(x,y)является гармонической, а значит, существует регулярная функция с заданной мнимой u(x,y) частью. Чтобы восстановить аналитическую функцию f(z), воспользуемся условиями Коши-Римана:
∂u∂x=∂v∂y;∂u∂y=-∂v∂x
Из первого условия имеем:
∂u∂x=-2e-2ycos2x
Отсюда:
ux,y=-2e-2ycos2xdx=-e-2ysin2x+c(y)
Для нахождения c(x) используем второе равенство