В сейсмографе однородный стержень длиной l и весом P удерживается в горизонтальном положении при

В сейсмографе однородный стержень длиной l и весом P удерживается в горизонтальном положении при помощи вертикальной пружины с жесткостью С, прикрепленной в точке М к стержню на расстоянии ОМ=а (рис.1). Рис. 1 Определить: То

Изобразим действующие на стержень (рис. 2)
Рис. 2
Под действием веса пружина удлиняется на х1, чтобы прийти в равновесие. Удлинение находится из формулы уравнения моментов относительно точки О
Fупрa=Pl2
cx1a=Pl2
x1=Pl2ac
Составим основное уравнение динамики вращательного движения для стержня
Iε=Mo,
где I=ml23=Pl23g - момент инерции стержня относительно его конца;
Mo=-cx+x1a+Pl2=-cxa-cx1a+Pl2=-cxa-ca∙Pl2ac+Pl2=-cxa-Pl2+Pl2=-cxa - сумма момент всех сил относительно точки О.
ε=aτa - угловое ускорение стержня в точке крепления пружины
Подставив значения в основное уравнение, получаем:
Pl23g∙aτa=-cxa
aτ+3gca2Pl2x=0
x''+3gca2Pl2x=0, укорение а является второй производной от х
Из этого уравнения находим циклическую частоту собственных колебаний ωo
ωo=3gca2Pl2=al3gcP
Теперь находим период собственных колебаний стержня из формулы
To=2πωo=2πlaP3gc