В соответствии с индивидуальным вариантом задания: Построить программный генератор случайных чисел с заданным законом распределения.

В соответствии с индивидуальным вариантом задания: Построить программный генератор случайных чисел с заданным законом распределения. Рекомендуется использовать метод обратных функций. Оценить величину математического ожидания и дисперсии по выборкам объемом 50, 100, 1000, 105 и сравнить с точными величинами, полученными аналитически. Оценить соответствие полученного закона заданному, используя критерий согласия. Вариант 6 fz=2cosz0≤z≤π/4

1. Найдём функцию распределения:
Fz=-∞zfzdz=20zcoszdz=2sinz0z=2sinz
Fz=0, x≤02sinz, z∈(0;π/4]1, z>π/4
Моделируем с помощью равномерного распределения ri на [0;1] и обратной функции к функции распределения:
ri∈R[0;1]
ri=2sinzi⟹zi=arcsinri2
Подпрограмма в MATLAB:
%датчик случайных чисел с помощью обратной функции
function z = GenerZ(N)
%массив случайных чисел, имеющий равномерное распределение
r=rand(1,N);
%массив случайных чисел, имеющий заданное распределение
z=asin(r/sqrt(2));
end
Графическое представление выборки:
%построение гистограммы и плотности заданного распределения
function Histogramm(z)
N=length(z);
%число интервалов по формуле Стерджесса
k=ceil(1+3.322*log10(N));
h=pi/(4*k);
fhist=hist(z,k)/(h*N);
figure
x_sr=(h/2):h:(pi/4-h/2);
%гистограмма
bar(x_sr,fhist,0.9,'r');
hold on
xx=0:0.01:pi/4;
yy=sqrt(2)*cos(xx);
%плотность заданного распределения
plot(xx,yy);
s=['N = ' num2str(N)];
title(s);
xlabel('x')
ylabel('y')
end
2. Найдём аналитически величины математического ожидания Mz и дисперсии Dz:
Mz=-∞+∞zfzdz
Mz=20π4zcoszdz=u=zdv=coszdzdu=dzv=sinz=2zsinz0π4-20π4sinzdz=
=π4+2cosz0π4=π4+1-2≈0.3712
Mz2=-∞+∞z2fzdz
Mz2=20π4z2coszdz=u=z2dv=coszdzdu=2zdzv=sinz=2z2sinz0π4-
-220π4zsinzdz=u=zdv=sinzdzdu=dzv=-cosz=π216+22zcosz0π4-
-220π4coszdz=π216+π2212-1-22sinz0π4=π216+π2-2
Dz=Mz2-Mz2=π216+π2-2-π4+1-22=π2+22-5≈0.0499
Величины математического ожидания и дисперсии по выборке объёма N определяются по формулам:
Mz=z=1Ni=1Nzi
Dz=S2=1N-1i=1Nzi-Mz2
Подпрограмма в MATLAB:
%расчёт математического ожидания и дисперсии
function [Mz, Dz] = MZDZ(z)
N=length(z);
Mz=sum(z)/N;
Dz=sum((z-Mz).^2)/(N-1);
%сравнение с аналитическими значениями
eps1 = abs(pi/4-sqrt(2)+1-Mz);
eps2 = abs(pi/sqrt(2)+2*sqrt(2)-5-Dz);

fprintf('Для выборки объёма N = %d\n',N)
fprintf('Оценка математического ожидания Mz = %.4f (отклонение %.4f)\n',Mz,eps1)
fprintf('Оценка дисперсии Dz = %.4f (отклонение %.4f)\n',Dz,eps2)
end
3

. Критерий А.Н. Колмогорова позволяет найти точку, в которой сумма накопленных частот расхождений между двумя распределениями является наибольшей, и оценить достоверность этого расхождения.
Статистика критерия может быть вычислена по формуле:
DZN=max1≤i≤NiN-Fzi;Fzi-i-1N, i=1,N
Если статистика NDZN превышает процентную точку распределения Колмогорова Kα заданного уровня значимости α, то нулевая гипотеза H0 (о соответствии закону F(z) отвергается