В заданиях вычислить интеграл точно по формуле Ньютона-Лейбница и приближенно по формулам прямоугольников. Отрезок

В заданиях вычислить интеграл точно по формуле Ньютона-Лейбница и приближенно по формулам прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений. 3.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
Вычислим интеграл приближенно по формулам прямоугольников. Существует 3 модификации:
1) метод левых прямоугольников;
2) метод правых прямоугольников;
3) метод средних прямоугольников.
Рассмотрим их по отдельности:
1) Метод левых прямоугольников.
Если функция непрерывна на отрезке и он разбит на равных частей: , , ,…, , то определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле левых прямоугольников:
, где
Имеем , .
Составим расчетную таблицу:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2,0 2,6 3,2 3,8 4,4 5,0 5,6 6,2 6,8 7,4
0 0,4648 1,3145 2,4150 3,7181 5,1962 6,8305 8,6074 10,5163 12,5485
Подставляем в формулу и получаем:
2) Метод правых прямоугольников.
Если функция непрерывна на отрезке и он разбит на равных частей: , , ,…, , то определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле правых прямоугольников:
, где
Имеем , .
Составим расчетную таблицу:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2,6 3,2 3,8 4,4 5,0 5,6 6,2 6,8 7,4 8,0
0,4648 1,3145 2,4150 3,7181 5,1962 6,8305 8,6074 10,5163 12,5485 14,6969
Подставляем в формулу и получаем:
3) Метод средних прямоугольников.
Если функция непрерывна на отрезке и он разбит на равных частей: , , ,…, , то определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле правых прямоугольников:
, где
Имеем , .
Составим расчетную таблицу:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2,3 2,9 3,5 4,1 4,7 5,3 5,9 6,5 7,1 7,7
0,1643 0,8538 1,8371 3,0431 4,4366 5,9947 7,7019 9,5459 11,5174 13,6086
Подставляем в формулу и получаем:
Итого, получаем
, , ,
Найдем абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
Абсолютная погрешность вычисления находится по формуле:
Относительная погрешность вычисления находится по формуле:
Таким образом, получаем:
,
,
,