Чмсловые последовательности основной общеобразовательной школе с применением компьютерных технологий

 

 

 

Содержание

стр.

Введение……………………………………………………………………….…3

   Глава I. Числовые последовательности и их свойства

1.1.Числовые последовательности. Способы задания……….……….5

1.2.Арифметические и геометрические прогрессии………………….7

1.3.Последовательность чисел Фибоначчи, её свойства……………13

Выводы по главе I……………………………………………………………...21

 

Глава II. Изучение числовых последовательностей в систематическом курсе математики основной школы

2.1.Специфика изучения числовых последовательностей в курсе математики основной школы………………………………………..…22

2.2. Логико-дидактический анализ темы «Арифметические и геометрические прогрессии» …………………………………………..26

2.3. Организация проверки знаний учащихся по теме: «Прогрессии» с использованием компьютерных технологий………………………….30

Выводы по главе II…………………………………………………..…………..36

Заключение………………………………………………………………..……...37

 

Литература………………………………………………………………………..39

Приложения………………………………………………………………………42

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Развитие мышления учащихся является задачей всех школьных дисциплин, однако, курсу математики в этом вопросе, в связи с его специфическими особенностями, отводится весьма важная роль. Действительно, оперирование в ходе изучения предмета понятиями высокой степени абстрактности, формирование представлений о математическом моделировании, систематически и последовательно проводимая аргументация, четкая логическая схема рассуждения, точность, лаконичность, информированность языка – все это присуще процессу обучения математике и все это способствует воспитанию умственной культуры школьников.

Одним из важнейших понятий математики и ее школьного курса является понятие функции. Числовые последовательности, являясь одним из важнейших классов числовых функций, возникли и развились за долго до создания учения о функции и являются объектом самостоятельного изучения.

В этой связи, темой исследования мы определили: «Особенности изучения числовых последовательностей с применением компьютерных технологий в курсе математики основной школы».

Объектом исследования выступает процесс обучения алгебре в основной школе. Предметом является деятельность учителя по изучению числовых последовательностей в курсе алгебры основной школы.

В качестве цели исследовательской работы выступает раскрытие специфики изучения числовых последовательностей в курсе математики основной школы. Для этого необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить методико-математическую  литературу  по проблеме исследования.

2. Раскрыть специфику  изучения числовых последовательностей  в курсе алгебры основной школы.

3. Произвести логико-дидактический анализ темы: «Арифметические и геометрические прогрессии».

4. Рассмотреть организацию  проверки знаний учащихся с  помощью компьютерных технологий.

В качестве гипотезы нашего исследования мы выдвинули предположение о том, что деятельность учителя математики по изучению последовательностей будет более эффективной, если:

• данная тема будет рассмотрена в контексте функциональной линии;
• учитель будет активизировать познавательную деятельность учащихся посредством использования исторического материала, разнообразных форм проведения занятий;
• применять компьютерные технологии при изучении темы и контроле знаний учащихся.

Для эффективного разрешения задач дипломной работы, нами была использована следующая совокупность методов исследования: теоретические: анализ педагогических идей, анализ документации и продуктов деятельности школьников; социально – педагогические: беседа, тестирование, эмпирические: изучение педагогического опыта, теоретические изучение информационных источников.

Базой нашего исследования являлась средняя общеобразовательная школа №3 г. Каменска-Шахтинского. 9 «Б».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава I. Числовые последовательности и их свойства

1.1.Числовые  последовательности. Способы задания

Существуют различные  подходы к определению понятия  «числовая последовательность».

Определение. Числовой последовательностью называют числовую функцию, заданную на множестве N, натуральных чисел.

Поскольку функция определяется через  соответствие между множествами, то определение можно сформулировать в виде:

если каждому натуральному числу n ставится в соответствие по некоторому правилу единственное натуральное число X_n, то множество занумированных действительных чисел X₁,X₂,…X_n,… называется числовой последовательностью.

В общем виде это можно  записать так:

 

 1           2           3   …   n   …

 

X₁        X₂          X₃   … Xn   …

Расмотрим примеры числовых последовательностей:

5, 7, 9, 11, 13, 15… (1)

1, 4, 9, 16, 25, 36… (2)

1, -1, 1, -1, 1, -1…   (3)

В примере (1) каждому натуральному числу n ставится в соответствие нечётное число: 2n+3; следовательно формула n-го члена имеет вид: X_n=2n+3.

Числовая последовательность в примере (2) задана следующим образом: каждому натуральному числу ставится в соответствие его квадрат, и  значит n-й элемент последовательноти может быть задан формулой X_n=n².

В последнем примере (3) n-й элемент последовательности имеет  вид:

X_n=(-1)ⁿ⁺¹

Итак, последовательность может быть задана с помощью формулы, позволяющей вычислять каждый член последовательности по его номеру.

Существуют и другие способы задания последовательностей. Так, например, числовую последовательноть можно изображать:

а) точками на числовой оси, где n є N.

б) точками с координатами ( n; Xn ) на плоскости.

Например последовательность, общий  член которой равен  можно изображать точками на числовой оси (рис.1) и точками на координатной плоскости (рис.2).

0                                                                                   1

рис.1

              Xn

             

             

                1      

 

 
                     0      1      2      3      4      5      6      7      8      9          n

 

              - 1

                                     рис. 2

Последовательность может  быть задана рекуррентным способом (лат. recurre «возвращаться») В этом случае надо указать первый член (или несколько  первых членов) и формулу, связывающую n-й член последовательности с предыдущим (или предыдущими).

Например для последовательности чисел Фибоначчи:

1; 1; 2; 3; 5; 8; … рекуррентная  формула выглядит следующим образом: u_n=u_n-1+u_n-2, где u₁=1, u₂=1, n ≥ 3.

Среди рекуррентно заданных последовательностей  выделяют возвратные последовательности.

Поледовательность (u_n) называют возвратной последовательностью порядка k, если для всех неотрицательных целых n :

U_n+k=a₁u_n+k-1+a₂u_n+k-2+ … +a_ku_n  (*) ,где a_k≠0. При этом соотношение (*) называют рекуррентным уравнением порядка k. Таким образом, если возвратная поледовательность имеет порядок k, то каждый её член начиная с (k+1)-го выражается через k предшествующих ему членов.

Например последовательность чисел  Фибоначчи является возвратной последовательностью 2-го порядка, так как u_n+2=u_n+u_n+1.

Возвратными последовательностями являютя также арифметическая и геометрическая прогрессии. И поскольку прогрессии изучаются в школьном курсе математики, то рассмотрим их более подробно.

 

1.2. Арифметическая  и геометрическая прогрессии

Арифметическая прогрессия.

Определение. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

Если последовательность (а_n) арифметическая прогрессия, то по определению:

a₂-a₁=a₃-a₂=…=a_n+1-a_n

Т.е. разность между любым  членом и предыдущим с ним равна  одному и тому же числу. Она называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

Таким образом арифметическая прогрессия (a_n) определяется условиями:

1)а₁=а, где а-некоторое число

2)a_n+1=a_n+d, n≥1

Арифметическая прогрессия обладает характеристическим свойством: любой  её член , начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего  и последующего членов.

Доказательство.

По определению арифметической прогрессии

a_n+1=a_n+d,

a_n+2=a_n+1+d.

Вычитая почленно из первого  равенства второе получаем:

a_n+1-a_n+2=a_n-a_n-1,

2a_n+1=a_n+a_n+2.

Следовательно: .

Справедливо и обратное утверждение:

Если некоторая последовательность такова, что любой её член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов, то эта последовательность арифметическая прогрессия .

Доказательство.

Пусть для любых трёх соседних членов некоторой последовательности (а_n) выполняется соотношение:

a_n+1= , (n≥1).

Тогда 2a_n+1=a_n+a_n+2, или a_n+1-a_n=a_n+2-a_n+1, т.е. разность между любым членом последовательности (a_n) и предыдущим с ним равна одному и тому же числу. Значит, (a_n)-арифметическая прогрессия.

Используя равенство 2a_n+1=a_n+a_n+2, получим равенство

a_n+2=2a_n+1-a_n.

из которого следует, что арифметичесая  прогрессия является возвратной последовательностью  второго порядка.

Арифметическую прогрессию можно задать как рекуррентным способом, так и с помощью формулы n-го члена a_n=a₁+(n-1)d. В школьном курсе математики она выводится следующим образом:

 а₂=а₁+d;

а₃=а₂+d;

а₄=а₃+d;

. . . . . . .

а_n-1=а_n-2+d;

a_n=a _n-1+d.

Складывая почленно эти (n-1) равенств, получаем:

(a₂+a₃+a₄+…+a_n-1)+a_n=a₁+(a₂+a₃+…+a_n-2+a_n-1)+(n-1)d,

откуда  a_n=a₁+(n-1)d.

Данную формулу можно  так же доказать методом математической индукции:

1) Проверим верность  равенства при n=2:

a₂=a₁+(2-1)d,

a₂=a₁+d-верно.

2) Предполжим что равенство  верно при n=k:

a_k=a₁+(k-1)d.

3) Докажем что равенство  верно при n=k+1, т.е. докажем что

a_k+1=a₁+(k+1-1)d, или a_k+1=a₁+kd.

Доказательство.

а_k+1=a_k+d=a₁+(k-1)d+d=a₁+(k-1+1)d=a₁+kd.

Следовательно формула a_n=a₁+(n-1)d справедлива для

Наряду с вычислением n-го члена арифметческой прогрессии важное место занимает нахождение суммы  её первых n членов.

В учебниках алгебры [2], [16] рассматривается следующий подход к выводу этой формулы: обозначим сумму n первых членов арифметической прогрессии (a_n) через S_n и запишем эту сумму дважды, изменив во втором случае порядок слагаемых на обратный:

S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n,

S_n=a_n+a_n-1+…+a₃+a₂+a₁.

Складывая почленно эти  равенства получаем:

2S_n=(a₁+a_n)+(a₂+a_n-1)+…+(a_n-1+a₂)+(a_n+a₁).

В правой части равенства  сумма двух чисел в каждой скобке равна (a₁+a_n) т.к a₂+a_n-1=(a₁+d)+(a_n-d)=a₁+a_n,

a₃+a_n-2=(a₂+d)+(a_n-1-d)=a₂+a_n-1=a₁+a_n и.т.д.

Число слагаемых, заключённых  в скобки равно n. Поэтому

2S_n=(a₁+a_n)n, откуда

S_{n= .}

Заменим в этой формуле член a_n его выражением a₁+d(n-1). Тогда

S_n= .

Данную формулу можно  доказать методом математической индукции:

1) Проверим верность  равенства при n=2.

S₂= ,

S₂= ,

S₂=2a₁+d,

S₂=a₁+ (a₁+d),

S₂=a₁+ a₂  - верно.

2) Предположим, что  равенство верно при n=k:

S_k= .

3) Докажем, что равенство  верно при n=k+1,т.е. докажем, что

S_k+1= .

Доказательство.

S_k+1=S_k+a_k+1=

= .

Таким образом, мы доказали, что формула

 S_n= справедлива для

Геометрическая прогрессия.

Определение. Числовая последовательность, первый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, не равное нулю, называется геометрической прогрессией.

Если последовательность (b_n)-геометрическая прогрессия, то по определению:

То есть отношение  любого члена и предыдущего равно  одному и тому же числу. Это число  называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой q.

Таким образом геометрическая прогрессия (b_n) определяется условиями:

1) b₁=b, где b≠0 – некоторое число.

2) b_n+1=b_nq (q≠0) – для .

Из условий следует, что геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью 1-го порядка.

Геометрическая прогрессия обладает характеристическим свойством: квадрат любого её члена, начиная  со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов  

.

Доказательство

По определению геометрической прогрессии:

,откуда  что и требовалось доказать.

Справедливо и обратное утверждение:

Если некоторая последовательность такова, что любой её член, начиная  со второго, является средним геометрическим предыдущего и последующего членов, то эта последовательность - геометрическая прогрессия.

Доказательство.

Пусть для любых трёх соседних членов некоторой последовательности

(b_n ) выполняется соотношение , (n≥1)

Тогда следовательно частное между любым членом последовательности (b_n) и предыдущим с ним членом равно одному и тому же числу. Значит (b_n) – геометрическая прогрессия.

Проводя параллель с арифметической прогрессией, выделим основные формулы: b_n=b₁q^n-1  и S_n= (q≠1). Докажем их методом математической индукции.

1) Покажем, что равенство b_n=b₁q^n-1 – верно при n=2:

b₂=b₁q – верно

2) Предположим, что равенство  верно при n=k

b_k =b₁q^k-1.

3) Докажем, что верно  при n=k+1, т.е. b_k+1=b₁q^k,

b_k+1=b_kq=b₁q^k-1q=b₁q^k.

Таким образом мы доказали что формула b_n=b₁q^n-1 – справедлива для nєN

1) Покажем, что S_n= , где верно при n=2:

- верно.

2) Предположим, что верно при n=k:

S_{k= .}

3) Докажем, что верно  при n=k+1, т. е. S_k+1= .

Доказательство.

S_k+1 =

=

следовательно формула S_n= , где q≠1 справедлива для .

Таким образом, мы рассмотрели в  качестве одного из классов числовых последовательностей арифметические и геометрические прогрессии. Особое место среди числовых последовательностей  занимает также последовательность чисел Фибоначчи. Рассмотрим её более подробно в следующем параграфе.

 

1.3. Последовательность чисел Фибоначчи, её свойства

Числа Фибоначчи обладают целым рядом интересных и важных свойств, которые мы рассмотрим подробнее.

Многие соотношения между числами  Фибоначчи удобно доказывать при помощи метода математической индукции.

Простейшие свойства чисел Фибоначчи.

1) Вычислим сначала сумму первых  n чисел Фибоначчи. А именно докажем, что: u₁+u₂+…+u_n=u_n+2 – 1       (1.1)

Будем доказывать методом математической индукции.

Проверим, верно ли равенство при  n=2:

u₁+u₂=u₂₊₂ – 1, так как u₁=1,u₂=1,u₄=3, то

2=3-1;

2=2 – верно.

Предположим, что равенство верно  при n=k, т.е.

u₁+u₂+…+u_k=u_k+2 – 1

Докажем, что равенство верно  при n=k+1. Нужно доказать, что:

u₁+u₂+…+u_k+u_k+1=u_k+3 – 1.

Доказательство.

u₁+u₂+…+u_k+u_k+1=u_k+2 – 1+u_k+1=u_k+3 – 1;

u_k+3 – 1=u_k+3 – 1.

Таким образом мы доказали, что  формула:u₁+u₂+…+u_n=u_n+2 – 1 верна для любого натурального n³2

2) Сумма чисел Фибоначчи с  нечётными номерами:

 u₁+u₃+u₅+…+u_2n-1=u_{2n .}       (1.2)

Для доказательства равенства  также будем использовать метод  математической индукции. Проверим верность равенства при n=2:

u₁+u₃=u₄;

1+2=3;

3=3 – верно.

Предположим, что равенство верно  при n=k, т.е.:

u₁+u₃+u₅+…+u_2k-1=u_2k.

Докажем, что равенство верно  при n=k+1, т.е. нужно доказать, что:

u₁+u₃+u₅+…+u_2k-1+u_2k+1=u_2k+2.

Доказательство.

u₁+u₃+u₅+…+u_2k-1+u_2k+1=u_2k+u_2k+1=u_2k+2 ;

u_2k+2=u_2k+2, таким образом мы доказали, что формула верна для любого n³2.

3) Сумма чисел с чётными номерами: u₂+u₄+…+u_2n=u_2n+1 – 1    (1.3)

Доказательство.

На основании (1.1) мы имеем: u₁+u₂+u₃+…+u_2n=u_2n+2 – 1;

Вычитая почленно из этого равенства  равенство (1.2) получаем:

u₂+u₄+…+u_2n=u_2n+2 – 1- u_2n=u_2n+1 – 1.

Таким образом, мы доказали, что равенство:

 u₂+u₄+…+u_2n=u_2n+1 – 1 ,верно для любого n³2.

Формулы (1.1) и (1.2) были доказаны при  помощи метода математической индукции. С помощью этого метода докажем ещё одну формулу для суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи:

4)   (1.4)

проверим верность равенства при  n=2:

1+1=

2=2 – верно.

Предположим, что равенство верно  при n=k, т.е. 

Докажем, что равенство верно  при n=k+1, т.е.    

Доказательство.

Таким образом, мы доказали, что формула справедлива для  любого n³2.

До сих пор мы определяли числа Фибоначчи рекуррентно. Однако, любое число Фибоначчи можно определить непосредственно, как некоторую функцию его номера.

Исследуем для этого различные последовательности u₁,u₂,…,u_n,… Удовлетворяющие соотношению: u_n=u_n-2+u_n-1  (1.5)

Все такие последовательности называют решениями уравнения (1.5)

Рассмотрим последовательности:

V₁, V₂, V₃,…

V’₁, V’₂, V’₃,  

V’’₁, V’’₂, V’’₃,…

Обозначим их соответственно (V_n), (V’_n), (V’’_n). Для данных последовательностей справедливы следующие утверждения:

Лемма 1.

Если (V_n) есть решение уравнения (1.5), а c произвольное число, то последовательность (сV_n),т.е. последовательность cv₁,cv₂,… есть также решение уравнения (1.5)

Доказательство. Так как последовательность (V_n) является решением уравнения (1.5), то если умножить почленно равенство v_n=v_n-2+v_n-1 на с, то получаем: cv_n=cv_n-2+cv_n-1 следовательно последовательность (cV_n) является решением уравнения (1.5).

Лемма 2.

Если последовательность (V’_n) (V’’_n) является решением уравнения (1.5), то и их сумма (V_n+V’’_n) (т.е. последовательность v’₁+v’’₁, v’₂+v’’₂,…) также является решением уравнения (1.5)

Доказательство.

Из условия леммы имеем: v’_n=v’_n-2+v’_n-1;

v’’_n=v’’_n-2+v’’_n-1.

Сложив эти два равенства  почленно, получим:

v’_n+v’’_n=(v’_n-2+v’’_n-2)+(v’_n-1+v’’_n-1). Следовательно последовательность (V’_n+V’’_n) является решением уравнения (1.5).

Пусть теперь (V’_n) и (V’’_n) – два непропорциональных, т.е. два таких решения уравнения (1.5), что при любом постоянном с найдётся такой номер n, для которого ¹c. Такую последовательность (V_n) являющуюся решением уравнения (1.5) можно представить в виде: (c₁V’_n+c₂V’’_n) (1.6), где с₁ и с₂ – некоторые постоянные. Решение (1.6) называется общим решения уравнения (1.5).

Докажем, что если решения (V’_n) и (V’’_n) уравнения (1.5) непропорциональны, то (1.7)

Доказательство.

Будем доказывать методом  от противного. Предположим, что для  непропорциональных решений (V’_n) и (V’’_n) уравнения (1.5) выполняется равенство:  следовательно по свойству пропорции ( ) получим: = или предположим, что верно равенство: следовательно по свойству пропорции: или , следовательно на основе метода математической индукции можно заключить, что формула верна для любого натурального числа n следовательно решения уравнения (1.5) (V’_n ) и (V’’_n) пропорциональны, что противоречит условию, следовательно сделанное нами предположение неверно. Значит для непропорциональных решений (V’_n ) и (V’’_n)уравнения (1.5) выполняется .

Замечание.

При доказательстве леммы  мы использовали следующее свойство

пропорции:

= . Докажем его:

 тогда 

  таким образом  мы доказали, что .

Возьмём теперь некоторую  последовательность, являющуюся решением уравнения (1.5). Эта последовательность, как уже было выяснено определена, если заданы два её первых члена v₁ и v_{2 .}Найдём такие с₁ и с₂, чтобы:

 с₁v’₁+c₂v’’₁=v_1,

 c₁v’₂+c₂v’’₂=v₂  (1.8)

Тогда на основании лемм 1 и 2 (с₁V’_n+c₂V’’_n) даст нам последовательность (V_n).

На основе условия (1.7) система уравнений (1.8) разрешима относительно с₁ и с₂ , каковы бы ни были числа v₁ и v₂ :

1) с₁v’₁+c₂v’’₁=v₁;

c₁v’₁=v₁-c₂v’’₁;

c₁= ;

2) c₁v’₂+c₂v’’₂=v₂;

;

;

;

 

.

3) c₁= ; подставив значение с₂  , получим:

,     .

Подставив численные  значения с₁ и с₂ в (с₁ (V’_n )+c₂ (V’’_n)), мы получим последовательность (V_n).

Значит для описания всех решений уравнения (1.5) достаточно найти какие-нибудь два его непропорциональных решения

Будем искать эти решения  среди геометрических прогрессий. .В  соответствии с леммой 1 достаточно ограничиться рассмотрением только таких прогрессий, у которых первый член равен единице. Итак, возьмём прогрессию: 1, q, q²,…

Чтобы она была решением уравнения (1.5), необходимо, чтобы при всяком n выполнялось:

q^n-2+q^n-1=qⁿ , сократим на q^n-2  тогда получим уравнение:

q²-q-1=0, (1.9) корни этого квадратного уравнения равны , и будут искомыми знаменателями прогрессий. Обозначим их соответственно через a и b. Так как a и b корни уравнения (1.9), то 1+a=a², 1+b=b²  и ab=-1. Таким образом , мы получили две геометрические прогрессии, являющиеся решениями уравнения (1.9). Поэтому все последовательности вида:

с₁+с₂, с₁a+с₂b, с₁a²+с₂b²,… (1.10)

являются решениями уравнения (1.5). Так как найденные нами две прогрессии имеют разные знаменатели ( а именно a и b) и поэтому непропорциональны, формула при различных с₁ и с₂ даёт нам все решения уравнения (1.5)

В частности, при некоторых  с₁ и с₂, формула (1.10) должна дать нам ряд Фибоначчи. Для этого нужно определить с₁ и с₂ из уравнений:

c₁+с₂=u₁,

и

с₁a+с₂b=u₂, таким образом из системы:

с₁+с₂=1,

, откуда получаем

        , откуда , т.е.

.  (1.11)

Таким образом, мы доказали формулу n – го члена для последовательности чисел Фибоначчи.