Формирование временных представлений на уроках математики в начальной школе по программе "Школа России"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формирование временных представлений на уроках математики в начальной школе по программе "Школа России"

математика школа величина временной

 

 

Содержание

 

1. Теоретические  основы формирования временных  представлений на уроках математики  в начальной школе по программе  «Школа России»

1.1 Понятие  величины. Измерение величин

1.2 История  изучения величины «время»

1.3 Величины, изучаемые в начальной школе

1.4 Особенности  математического блока УМК «Школа  России»

2. Методические  аспекты формирования временных  представлений на уроках математики  в начальной школе по программе  «Школа России»

2.1 Методика формирования временных представлений в начальном курсе математики по программе «Школа России»

2.2 Описание опытно-экспериментальной работы

Заключение

Список литературы

Приложение

 

 

 

Введение

 

Основными базисными понятиями начального курса математики являются «число» и «величина». В методико-математической литературе, используемой при подготовке учителей начальных классов, этому уделяется много внимания. Однако «подлинное происхождение и сущность этих понятий, их взаимосвязь и взаимообусловленность остаются вне сознания подавляющего большинства школьников и, к сожалению, многих учителей» [28,с.7].

Как показывает практика, у учителя нередко наблюдается неуверенность в использовании термина «величина», а также входящего в сферу величин понятия времени. Это связано, во-первых, с высоким уровнем абстрактности изучаемого понятия. Во-вторых, процесс изучения времени значительно сложнее измерения длин, площадей, объемов и масс, т.к. за единицу времени не может быть взят произвольный промежуток, а только такой, который связан с периодически повторяющимся процессом. Поэтому существующее измерение времени основано на учете вращения Земли вокруг оси и обращения Земли вокруг Солнца и не является абсолютно точным.

Таким образом, цель работы состоит в исследовании методики изучения темы «Время. Измерение времени» на уроках математики в начальной школе по программе «Школа России».

Объект исследования: процесс формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе.

Предмет исследования: методика формирования временных представлений в начальном курсе математики УМК «Школа России».

Исходя из вышесказанного, можно определить следующие задачи:

1. Раскрыть теоретические основы формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе: понятие величины, виды величин, аксиомы положительных скалярных величин, особенности измерения величин, историю изучения величины «время».

2.. Рассмотреть величины, изучаемые в начальной школе.

3. Определить содержание подготовки учащихся по теме «Время. Измерение времени» на уроках математике в начальной школе.

4.Описать методику формирования временных представлений в начальном курсе математики по программе «Школа России» и проверить ее эффективность в ходе опытно-экспериментальной работы.

Методы исследования: теоретический анализ научно-методической литературы по проблеме исследования, педагогическое наблюдение, тестирование, опытно - экспериментальная работа.

 

 

 

1. Теоретические основы формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе по программе «Школа России»

 

1.1 Понятие величины. Измерение величин

 

Величина - неопределяемое понятие. Под величинами понимают свойства объектов, которые допускают сравнение (<, >, =) и которым можно поставить в соответствие некоторую количественную характеристику.

Форма, цвет, материал - не являются величинами, т.к. они не допускают сравнения (например, нельзя сказать «более деревянный» или «менее деревянный»). Длина отрезка, площадь фигуры, масса тела - величины.

Классификация величин.

Величины бывают:

1) Скалярные - определяются только числовым значением (длина отрезка, масса тела, площадь фигуры).

2) Векторные - определяются числовым значением и направлением (скорость, сила, ускорение).

3) Аддитивные и неаддитивные

Аддитивные - допускают сложение (длина отрезка, площадь фигуры).

 

Рис.1

 

Длина отрезка а равна сумме длин отрезков с и b (рис.1).

Неаддитивные - не допускают сложения (плотность, температура) (рис. 2).

 

Рис. 2

 

4) Однородные и неоднородные.

Однородные - выражают одно и тоже свойство объектов (длина отрезка и периметр треугольника).

Неоднородные - выражают различные свойства объектов (периметр треугольника и площадь треугольника).

Аксиомы положительных скалярных величин

Аксиома 1: Любые две положительные скалярные величины можно сравнить. Если a и b - однородные положительные скалярные величины, то для них справедливо одно из трех утверждений: 1) a=b или 2) a<b или 3) a>b.

Аксиома 2: Любые однородные положительные скалярные величины можно складывать. В результате получится величина того же рода.

Аксиома 3: Из большей положительной скалярной величины можно вычесть меньшую положительную скалярную величину, ей однородную. В результате получится величина того же рода.

Аксиома 4: Любую положительную скалярную величину можно умножить на положительное действительное число. В результате получится величина того же рода.

Аксиома 5: Любую положительную скалярную величину можно разделить на величину, ей однородную. В результате получится положительное действительное число.

Положительной скалярной величине можно поставить в соответствие количественную характеристику - численное значение (меру) при выбранной единице измерения. Отыскать численное значение величины возможно в результате ее измерения.

Измерение положительных скалярных величин - это процесс установления отображения из множества положительных скалярных величин V+ во множество положительных действительных чисел R+.

В результате такого отображения каждой положительной скалярной величине ставится в соответствие единственное положительное действительное число, называемое численным значением величины или мерой.

Процесс измерения величин строится по-разному для каждого множества измеряемых объектов, но при этом имеются следующие общие моменты:

1. В каждом множестве измеряемых объектов выбирается один и называется единичным.

2. Величине единичного объекта ставится в соответствие положительное действительное число 1.

3. Величина измеряемого объекта делится на величину единичного объекта. В результате (по аксиоме 5 положительных скалярных величин) получится положительное действительное число – численное значение (мера) величины измеряемого объекта при выбранной единице измерения.

Символически: mе(a) - мера величины а при единице измерения е.

В процессе измерения используются следующие свойства меры:1. mе(e) = 1 - свойство меры единичного объекта.2. Равным величинам соответствуют равные положительные действительные числа: (а=b)=>(mе(a)=mе(b)) - свойство инвариантности меры.3. (с=a Å b)=>(mе(c)=mе(a)+mе(b)) - свойство аддитивности меры.4. mе(а) = mе1(а) × mе(е1) - свойство мультипликативности меры (позволяет переходить от одних единиц измерения к другим) [26].

 

 

1.2 История изучения величины «время»

 

На заре человечества осознание времени формировалось в мифологических образах, а с зарождением философии началась многовековая история философского осмысления времени [4, с.5].

С появлением научного мировоззрения время стало пристально рассматриваться во многих науках, особенно в физике и физико-математических дисциплинах.

За последние несколько десятилетий проблема времени «по числу посвященных ей исследований и публикаций вышла на одно из первых мест в мировой научной литературе, а по своему мировоззренческому значению занимает, пожалуй, ведущее место в философских исследованиях современности» [9, с. 4].

Ещё Аристотель (384-322 гг. до н.э.) обратил свое внимание фактически на все основные аспекты феномена времени, и от его взглядов берут начало многие развитые впоследствии концепции времени [29, с.64].

Поставив проблему существования времени, как некоторой самостоятельной сущности, Аристотель в дальнейшем связывает бытие времени с движением и в конечном итоге приходит к выводу, что время — это мера движения. Рассматривая проблему взаимосвязи времени и движения, Аристотель доказывает, что «время не есть движение, но и не существует без движения» [29, с.65].

Согласно Аристотелю, время, фактически, — это некое равномерное течение, на фоне которого протекают все изменения и движения и по отношению к которому определяется быстрота или медленность всех движений и изменений. Что же касается самого времени, т. е. равномерного фона всех движений и изменений, вопрос о его быстроте или медленности бессмыслен, поскольку не по чему определять скорость течения времени.

Аристотель считал, что он нашел абсолютные «мировые часы» — равномерное суточное вращение восьмой, самой удаленной небесной сферы, или, иначе, «сферы неподвижных звезд». Но уже во II в. до н.э. Гиппархом (ок. 180 или 190-125 гг. до н.э.) была открыта прецессия.

Оказалось, что «сфера неподвижных звезд», помимо суточного вращения, имеет еще медленное прецессионное движение с периодом полного оборота в 26 000 лет. Для того, чтобы объяснить это явление и в то же время сохранить идею равномерного кругового вращения небесных сфер, в общепринятой в Средние века аристотелевско-птолемеевской системе мира за видимой «восьмой» небесной сферой помещалась не имеющая на себе никаких небесных тел и, следовательно, невидимая «девятая» сфера, которой и приписывалось равномерное суточное вращение.

При этом предполагалось, что равномерное суточное вращение последней, «девятой», сферы передается всем нижележащим сферам, которые, однако, имеют и собственные равномерные движения [29, с.78].

По мере выявления все более тонких деталей движения небесной сферы для объяснения этого движения оказалось недостаточно девяти сфер, и позднее вводится представление о «десятой» сфере, а во времена Николая Коперника были попытки ввести в картину мира даже «одиннадцатую» сферу [4, с.159].

Если учесть, что все эти дополнительные сферы не имели на себе каких-либо небесных тел и их вращение признавалось недоступным для наблюдения, то станет понятно, почему используемое астрономами в качестве «меры всех движений» равномерное «первое движение», т. е. суточное вращение небесной сферы, становится все более абстрактным, все более оторванным от материальных процессов и постепенно начинает осознаваться как некое абстрактное «математическое время» [29, с.80].

Экономическое развитие европейских стран и произошедшие к позднему Средневековью социальные сдвиги, изменение в образе жизни городских жителей вызвали потребность в радикальном изменении приемов и методов измерения времени.

В конце XIII — начале XIV вв. появляются механические часы, позволяющие отмерять равномерно текущее время [25]. Появление механических часов внесло радикальные изменения в практику измерения времени и использования временных категорий, как в обыденной жизни, так и в научных исследованиях. Вполне естественно, что переход городских жителей Европы к равномерному «городскому» времени не мог не вызвать интереса образованных людей и тем более философов к проблеме времени и не вызвать среди них оживленных дискуссий. Использование неравных и изменяющихся в течение года «дневных» и «ночных» часов делало невозможным развитие таких наук, которые требовали сколь-либо точного измерения времени. Лишь астрономы, которые не могли обойтись без измерения времени, делили полные сутки на 24 часа, в силу чего они, в отличие от остальных людей, имели равные и не изменяющиеся в течение года часы.

С крушением геоцентрической картины мира этот процесс должен был завершиться полным отрывом используемого астрономами «равномерного времени» от каких бы то ни было материальных процессов, в результате чего наиболее равномерное, наиболее «истинное» время, время «в наиболее собственном смысле» должно было превратиться в некий абстрактный равномерный и не связанный с материальными процессами «поток» часов, суток, лет и т. д. и осознаваться как некая универсальная астрономическая, а возможно, и вообще «математическая» независимая равномерная переменная величина.

И действительно, «переменные величины» в математике первоначально трактовались как величины, зависящие от равномерно текущего времени [29, с.80].

Декарт причисляет идею длительности к разряду ясных и отчетливых идей, которые не могут быть ложными, а во-вторых, деление предмета на равные части, т. е. «измерение», согласно Декарту, не всегда является только мысленным, измерение может опираться и на объективную расчлененность предмета на равные части. В частности, «чем-то реальным является... разделение века на годы и дни...»,поскольку опирается на объективную расчлененность веков на годы и дни [2, с. 139].

Определяя понятие времени, Р. Декарт пишет: «...Время, которое мы отличаем от длительности, взятой вообще, и называем числом движения, есть лишь известный способ, каким мы эту длительность мыслим...» [2, с.451].

Противопоставление времени и длительности полностью преодолевается современником Рене Декарта Пьером Гассенди. Критикуя Р. Декарта за попытку противопоставить время как меру «истинной длительности» («абсолютное время») времени как мере длительности конкретной длящейся вещи, П. Гассенди пишет: «Я, по крайней мере, знаю одно-единственное время, которое, конечно (я этого не отрицаю), может называться или считаться абстрактным, поскольку оно не зависит от вещей, так как существуют вещи или нет, движутся они или находятся в состоянии покоя, оно всегда течет равномерно, не подвергаясь никаким изменениям. Существует ли кроме этого времени какое-то другое, которое могло бы называться или считаться конкретным постольку, поскольку оно связано с вещами, т. е. поскольку вещи длятся в нем, я никоим образом не могу знать» [2, с. 641].

Итак, у Гассенди время обретает характер некоторой объективной, ни от каких материальных процессов не зависящей и абсолютно равномерно текущей сущности.

Сопоставим характеристику этого «одного-единственного времени» с ньютоновской характеристикой «абсолютного времени» классической физики. «Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно, и иначе называется длительностью. Относительное, кажущееся или обыденное время есть или точная, или изменчивая, постигаемая чувствами, внешняя, совершаемая при посредстве какого-либо движения, мера продолжительности, употребляемая в обыденной жизни вместо истинного математического времени, как то: час, день, месяц, год» [2, с. 30].

Таким образом, согласно И. Ньютону, объективно, независимо ни от чего внешнего, ни от каких материальных процессов существует только «абсолютное, истинное математическое время», которое, несмотря ни на что, течет абсолютно равномерно, и иначе называется длительностью.

Относительное же время - это не какое-то особое время, текущее на ряду с «абсолютным временем», а доступная для простых людей степень приближения к абсолютному времени, поскольку это отмеряемая при помощи приблизительно равномерны» материальных процессов мера длительности («продолжительности»), т. е. мера «абсолютного времени». «Абсолютное время, - пишет И. Ньютон, - различается в астрономии от обыденного солнечного времени уравнением времени. Ибо естественные солнечные сутки, принимаемые при обыденном измерении времени за равные, на самом деле между собой не равны. Это неравенство и исправляется астрономами, чтобы при измерениях движений небесных светил применять более правильное время. Возможно, что не существует (в природе) такого равномерного движения, которым время могло бы измеряться с совершенною точностью. Все движения могу ускоряться или замедляться, течение же абсолютного времени изменяться не может. Длительность или продолжительность существования вещей одна и та же, быстры ли движения (по которым измеряется время), медленны ли, или их совсем нет, поэтому она надлежащим образом и отличается от своей, доступной чувствам, меры, будучи из нее выводимой при помощи астрономического уравнения» [2, с.31-32].

Наблюдается удивительное сходство взглядов на время И. Ньютона и П. Гассенди. Сходство и даже почти полное совпадение взглядов Ньютона и Гассенди на время связано с тем, что для них, как для естествоиспытателей, была привычной сформировавшаяся еще в XIV в., а к XVII в. уже общепринятая среди астрономов идея «математического времени». Оно понималось как оторванное от доступных наблюдению материальных процессов абсолютно равномерное «течение», «поток», или «дление», идея, возникшая, из представления об «истинном времени», или «времени в собственном значении», связанном с равномерным суточным вращением невидимых, но, с точки зрения астрономов и философов Средневековья, реально существующих небесных сфер.

После крушения в XVI в. геоцентрической картины мира абсолютно равномерное «математическое время» потеряло связь с материальными процессами и превратилось просто в равномерное деление, т. е. равномерный поток часов, суток, лет и т. д.

Утверждению в сознании широкого круга городских жителей подобных представлений о времени, несомненно, должно было способствовать и то обстоятельство, что в практике повседневного счета (измерения) времени Европа на протяжении XIV—XVI вв. постепенно переходит от неравномерных и постоянно изменяющихся «дневных» и «ночных» часов к равным и неизменным в течение суток и года часам.

Однако анализ понятия и критериев равномерности убеждает, что равномерность есть соотносительное свойство сравниваемых между собой материальных процессов и что в принципе возможно существование неограниченного множества удовлетворяющих критериям равномерности классов соравномерных процессов, каждый из которых в соответствующей области материальной действительности пригоден для введения единиц измерения длительности и практического измерения времени.

Как указывается в «Полном энциклопедическом справочнике», в настоящее время в рамках эфемеридного времени выделяются следующие виды времени: звездное, солнечное, всемирное, местное, поясное, декретное [1, с.375-376].

К единицам измерения времени относятся год, месяц, сутки, час, минута, секунда [1, с.376-379].

Система счисления времени варьируется в различных календарях, среди которых можно выделить: древнеегипетский, шумерийский, вавилонский, ханаанейский, древнеиндийский, майянский, китайский, республиканский календарь французской революции, византийский и православный, юлианский или астрономический календарь [1, с. 379-380].

 

1.3 Величины, изучаемые в начальной школе

 

Величина, так же как и число, является основным понятием курса математики начальных классов, в задачу которого входит формирование у детей представления о величине как о некотором свойстве предметов и явлений, которое прежде всего связано с измерением [8].

В начальных классах используется интуитивный подход, в соответствии с которым формируются представления о величинах как о некоторых свойствах предметов или явлений, связанных, прежде всего с измерением. При формировании представления о величине большую роль играет система заданий. В процессе выполнения этих заданий, практических работ на сравнение величин и их измерение учащиеся могут получить глубокое представление о каждой величине, предусмотренной программой [32, с.49].

Выделяются следующие основные подходы к рассмотрению темы «Величины» в начальном курсе математики:

 

 

Рис. 3

 

По этому принципу построены программы:

• М.И.Моро, М.А.Бантовой и др.;
• Н.Б.Истоминой;
• С.И.Волковой, Н.Н.Столяровой «Развитие познавательных способностей учащихся на уроках математики»;
• С.И.Волковой, О.Л.Пчелкиной «Математика и конструирование»;
• дидактическая система Л.В.Занкова;
• курс по системе укрупнения дидактической единицы П.М.Эрдниева. Особенности: Величины рассматриваются в тесной связи с изучением целых неотрицательных чисел и дробей: обучение измерениям связывают с изучением счета; новые единицы измерения вводят сразу после введения соответствующих счетных единиц; образование, запись и чтение именованных чисел изучают параллельно с нумерацией абстрактных чисел; арифметические действия выполняют над абстрактными и над именованными числами.

 

Рис. 4

 

По этому принципу построены программы:

• К.И.Нешкова, Ю.Н.Макарычева, А.М.Пышкало;
• В.Н.Рудницкой;
• А.И. Маркушевича;
• Н.Г.Салминой, В.А.Тарасова.

Особенности: Важнейшим понятием является понятие множества, на основе которого рассматриваются такие понятия, как «число», и такие отношения, как «равно», «меньше», «больше». Сведения о величинах рассматриваются в связи с измерениями и рассредоточены в соответствии с изученными числами.

 

 

 

Рис. 5

 

По этому принципу построена программа: Л.Г.Петерсон.

Особенности: Понятия множества и величины лежат в основе формирования представлений о числах.

Особенности: Понятия множества и величины лежат в основе формирования представлений о числах.

 

Рис. 6

 

По этому принципу построены программы:

• по системе обучения Д.Б.Эльконина – В.В.Давыдова;
• Л.М.Фридмана.

Особенности: Формирование понятия величины, т.е. введение в область отношений величин, раскрытие отношения величин как всеобщей формы числа, последовательное введение различных частных видов чисел как конкретизация общего отношения величин в определенных условиях, построение обобщенных способов действий с числами.

Младшие школьники изучают такие величины как цена, стоимость, масса, емкость, длина, время, скорость площадь и др. Эти величины включены в начальный курс с целью обеспечения практической надобности в измерении длины предметов, площади, массы; для лучшего усвоения нумерации и арифметических действий; для развития пространственных представлений.

Важнейшее место в этой работе отводится формированию умений и навыков, связанных с измерением ряда величин, практическому ознакомлению детей с соответствующими измерительными приборами и их шкалами, ознакомлению с системой единиц измерения и с переходом от одной единицы измерения к другим (таблица мер).

Таким образом, в основе методики изучения величин лежит практическая деятельность учащихся, связанная с овладением навыками измерения таких величин, как длина отрезка, площадь фигуры, масса тела, время.

Изучение величин и их измерение идет параллельно с ознакомлением учащихся с числами, фигурами. Для этого используется система текстовых задач, при решении которых учащиеся выполняют ряд действий над числами представляющими, в частности, некоторые значения той или иной величины (длины, площади, массы, времени, скорости). Большое внимание уделяется решению задач с пропорциональными величинами, такими как (таблица 1):

 

Таблица 1

1	Расстояние (S)	Скорость (V)	Время (t)
2	Работа (A)	Производительность (ν)	Время (t)
3	Стоимость (C)	Цена (a)	Количество товара (n)
4	Количество квартир в доме (K)	Количество квартир на одном  этаже (k)	Количество этажей (n)
5	Объем бассейна (V)	Скорость наполнения бассейна (a)	Время наполнения (t)
6	Площадь прямоугольника (S)	Длина (a)	Ширина (b)
7	Количество мест в театре (T)	Количество мест в ряду (t)	Количество рядов (n)
8	Масса заготовленного варенья (M)	Масса варенья в одной банке (m)	Количество банок (n)
9	Расход ткани на платье (P)	Расход ткани на одно платье (p)	Количество платьев (n)

 

 

Специфическими, относящимися только к усвоению представлений о величинах, являются задачи, связанные с выработкой измерительных навыков, выработкой навыков «чтения» шкалы мерной линейки, часовой шкалы, шкалы торговых весов и т.п. Здесь важно сформировать у детей умение правильно устанавливать измерительный инструмент или прибор.

Таким образом, после окончания начальной школы дети должны иметь следующие представления о величинах:

1. Знать единицы измерения величин и соотношения между крупными и мелкими единицами измерения.

2. Уметь пользоваться измерительными приборами.

3. Уметь измерять величины и выражать результат в различных единицах измерения.

4. Уметь сравнивать величины, то есть устанавливать отношения «больше», «меньше» и «равно».

5. Уметь выполнять все арифметические действия с единицами измерения величин.

Данные задачи находят отражение при реализации следующих этапов изучения величины в начальной школе (программа «Школа России»):

I этап. Выявление представлений ребенка о данной величине. Введение понятия и соответствующего термина.

II этап. Сравнение однородных величин (визуально, ощущением, положением, приложением, с помощью различных мерок).

III этап. Знакомство с единицей измерения величины и с измерительным прибором.

IV этап. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

V этап. Знакомство с новыми единицами измерения величин в тесной связи с изучением нумерации по концентрам. Перевод одних единиц нумерации в другие.

VI этап. Перевод величин, выраженных в единицах одних наименований, в однородные величины, выраженные в единицах других наименований.

VII этап. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах двух различных наименований.

VIII этап. Умножение и деление величины на число.

В программе Н.Б.Истоминой последовательность изучения величин схожа с указанной выше, но имеются некоторые отличия:

I этап. Выяснение и уточнение имеющихся у детей представлений о данной величине, которые они выражают в речи с помощью различных житейских понятий.

II этап. Сравнение однородных величин (визуально, ощущением, положением, приложением, с помощью различных мерок).

III этап. Знакомство с единицами измерения величин, с соотношениями между ними и с измерительным прибором.

IV этап. Выполнение арифметических действий с величинами: сложение, вычитание, умножение и деление величины на число.