Математикалық модельдеу

КІРІСПЕ

Менің дипломдық жұмысымда техникадағы математикалық модельдеудің ерекшеліктері қарастырылды. Диплом жұмысым негізгі үш бөлімнен тұрады: бірінші бөлім модельдеудің техникадағы орны қарастырылды, екінші бөлімде жалпы математикалық модельдің не екендігі, оны құру принциптері, түрлері қарастырылды, үшінші бөлімде механикалық жүйелердің, соңын ішінде механикалық тербелістің математикалық модельдерін құру қарастырылды.

Математика адамзаттың мәдени тіршілігінде ерекше орын алады. Бұл ғылымның физикадан, биологиядан, тарихтан, психологиядан түпкілікті айырмашылығы бар. Өзінің пән ретінде адамзат миының ерекше өнімі болатын абстракты ұғымдарға жататын сандар және функциялар, теңдеулер және жиындар нақты дүниеде кездеспесе де, табиғаттың және қоғамның кез- келген құбылысын түсінуге жарайтын, таңқаларлықтай өте ыңғайлы. Қоршаған дүниеде болып жатқан әртүрлі оқиғаларды математиканың қолданылуының арқасында субъективті шындық пен құрғақ математикалық-абстракциялық конструкция арасындағы өзара келісілген звенолардың байланысын көруге болады. Мұнда сиқырлы көпірдің көмегімен күнделікті шынайы өмірден математиканың фантастикалық еліне көшіп, оның шексіз кеңістігінде қызықты сапар шегіп, білім қорыңды молайтып, кері қайтуға мүмкіндік береді. Бұл сиқырлы көпірді математикалық модельдеу деп, жеке ғылымдардың дүниедегі құбылыстарды зерттеудегі табиғат заңдарын математикалық тілге аударады десек, мағынасы айқындала түседі.

Қазіргі уақытта техникалық оқу орындарында математикалық  модельдің не екенін түсіндіре алмайтын студентті табу қиын. Математикалық модель техникада ғана емес, сондай- ақ адам өмірінің қызметтік саласында да қолданысын табуда. Бірақ, бұл терминнің көпшілікке мәлім ресми анықтамасы жоқ және оның шекаралары мағыналық жағынан толық сызылып бітпеген. Мұндай жағдай кез-келген жаңа ғылыми бағыттың құрылу және тез даму сатысына тән.

Математикалық модельді ортақ позицияларда ақпараттық қоғамның қалыптасу периодында шынайы өмірді тану әдісі ретінде, тез дамушы ақпараттық технологиялардың интеллектуалды ядросы ретінде қарастыруға болады.

Техникадағы математикалық  модель ретінде зерттелетін техникалық құрылғы немесе процессті сәйкес математикалық модельге ауыстыру және оны әрі қарай қазіргі кездегі  есептеуіш техниканың құрылғыларын жұмылдыру арқылы есептеуіш техниканың әдістерімен оқытуды түсіндіреді. Математикалық модельді осылай оқыту әдісін ЭЕМ-де есептеуіш- логикалық алгоритмдер көмегімен тәжірибе жүргізу ретінде қарастыруға болатындықтан, онда ғылыми-техникалық әдебиеттердегі «есептеуіш тәжірибе» термині «математикалық модельдеу» терминінің синонимі ретінде ұсынылады. Бұл терминдердің мазмұнын интуиция арқылы түсініп, әдетте оны толық ашпайды.

Инженер- математиктерді «Қолданбалы математика» мамандығы  бойынша дайындау кезінде математикалық  модельдеу негізгі пәндердің бірі болып табылады. Математикалық модельдеу инженерлік практикамен тығыз байланыста, есептеуіш және классикалық математиканың жетістіктеріне сүйенеді. Жаратылыстану және ғылыми пәндерден ақпаратты белсенді түрде қолданып, есептеуші техниканы және ЭЕМ-де бағдарламалауды сенімді түрде пайдаланады. Сондықтан кез-келген мамандықтағы инженер үшін математикалық модельдеу- бұл шығармашылық қолданысы техниканың кез келген саласындағы прогресске себепкер болатын құрал.

1. тарау. МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУДІҢ ТЕХНИКАДАҒЫ ОРНЫ

Көптеген техникалық құрылғылардың жетістіктері ең  алдымен түрлендірудің нәтижелігімен және субстанциялардың(салмақ, энергия,импульс, электрлік қуат, ақпарат) шектеулі сандарының ауысуымен анықталады. Бұл процестер механика, физика, химия және тағы басқа ғылыми пәндердің құрамына енетін табиғаттың негізгі заңдарына бағынады. Бұл заңдар техниканың даму сатысында бастапқы рөльде болған жоқ. Көптеген мысалдардан техникалық құрылғыларды ойлап табу кезінде негізгі ғылыми оқиғаларды ашуға немесе анықтауға алып келді. Мұндай жағдайлар қазіргі кезде де мүмкін.

Бірақ, принціпшіл жаңа және толық жетілген техникалық құрылғыларды құрудың магистралды сызығы- бұл негізгі зерттеулердің нәтижелерін қолдану кезінде ашылатын мүмкіндіктерді орындау. Мұнымен, көбінесе, негізгі ғылыми дайындықтағы инженерлік білімдегі қазіргі заманғы акцентте түсіндіріледі. Мұндай зерттеулердің нәтижелерін шынайылауда маңызды рөлді математикалық модельдеу алады.

1.1. Модельдеу және техникалық прогресс.

Техникада болашағы зор ғылыми жаңалықтар мен процесстерді жүзеге асыру үшін көп жағдай да функционалдық және конструкциялық материалдардың мүмкіндіктерінің шектеулігі кедергі жасайды. Сондықтан техникалық және ғылыми идеяларды жүзеге асыру процесі- бұл біз қалайтын және мүмкін идеялар арасында дұрыс ымыраны іздеу процесі.

Техникалық құрылғыларды және әртүрлі тағайындаулар жүйесін  құрған кезде көп жағдайда белгілі  мақсатқа жеткізетін жобалау шешімдерінің бір- неше мүмкін мәндерінің нұсқаларын қарастырады. Бұл нұсқаларды талғаулы(балама, альтернативті) деп атайды. Қарама- қайшы шарттарды есепке алуда және өзара байланысқан проблемалар туындайтын кешенді шешуде, ымыраны іздестіру, альтернативті таңдау кезінде мүмкіндіктерін сипаттайтын негізгі параметрлер туралы сандық ақпараттың толық және нақты екендігін жорамалдайды.[2]

Ондаған жылдар бойы құрылған техникалық құрылғыларды өңдеудің негізгі қадамдарының тізбегі машина құру және құрылғылар құрудың көптеген салаларында қажетті ақпараттың кейбір бастапқы көлемі дұрыстығының дәрежесі альтернативтерді қатаң таңдауын қамтамасыз ететін, «жобалаушы» деп аталатын есептеулер жолы арқылы қалыптасты.[2] Сандық ақпараттың соңғы шешімін қабылдау үшін маңызды, негізгі бөлім техникалық құрылғыларды тәжірибелік өңдеу сатысында қалыптасады. Олардың күрделену және қымбаттау деңгейі бойынша, және олардың тәжірибелік өтеуінің сатысын ұзарту бойынша жобалау есептерінің мәні өсе бастады. Жобалаудың бастапқы сатысында альтернативтерді дәлелді түрде таңдауды қамтамасыз ететін есептеулердің анықтылығын және құрылымдық әрі параметрлік оптимизация үшін сандық критерилерді қалыптастыруды жоғарлату қажеттігі туындады.

Дыбыстан жылдам авиацияның дамуы, ракеталы- ғарыштық техниканың, ядролық энергетиканың және басқада  қазіргі заманның машина құру және құрылғылар құрудың тез дамитын салалары құрастырылатын немесе шығарылатын техникалық құрылғылар мен жүйелердің әрі қарай күрделенуіне алып келді. Олардың тәжірибелік өңделуі материалдық ресурстар мен уақыттарының көп шығындарын талап ете бастады, ал оны толық көлемде жүргізу кезінде қабылдауға жарайтын шешімі жоқ үлкен мәселеге айналды.

Мұндай жағдайларда  осындай құрылғылар мен жүйелердің сипаттамаларын есептеу- теориялық талдауының мәні өсе бастады. Бұған арифметикалық операцияларды жоғары жылдамдықпен орындайтын және жадысының көлемі үлкен ЭЕМ-нің шығуына себепші болған есептеуіш техниканың жетілу қарқыны да себепші болды. Нәтижесінде математикалық модельдің тез дамуына және құрылуы үшін математикалық қор құрылды және есептеуіш тәжірибені тек техникалық құрылғыны өңдеу сатысында есептеуіш- теориялық жанама ретінде ғана емес, сондай- ақ оны жобалау, оның сенімділігін талдау және бас тарту мен авариялық жағдайларды болжау және техникалық құрылғыларды жаңалау мен сипаттамаларын жылдамдату мүмкіндіктерін бағалау кезінде де қолдануға болатын сілтемелер пайда болды.

Есептеуіш тәжірибе АҚШ-та жасалынған аэробусты табиғи аэродинамикалық  сынауды жүргізуде шығынды азайтуға себепші болды және бар аналогтармен салыстырғанда аэродинамикалық  кедергілерді 20%-ға азайтты. Жер биосферасының математикалық модель негізінде «ядролық қысқа» әкелетін мүмкін әскери дау-жанжалдардағы ядролық жарылыстардың салдарының болжамдары жасалды.[10]

Техникада есептеуіш  тәжірибені және математикалық модельдеудің кең қолданысына анықталған сілтемелер ұқсас модельдердің әдістерінің арқасында құрылды. Осы әдістердің көбінің негізін механикалық, жылулық және гидравликалық жүйелердегі процесстерді зерттеу үшін электрлік ұқсас модельдерді қолдану құрайды. Егер құбылыстарды теңдеулер формасы жағынан бірдей түрде сипаттаса, оларды математикалық ұқсастықта деп санайды. Электрлік тізбектегі және басқа да физикалық құбылыстардағы процесстер арасындағы математикалық ұқсастық арнайы аналогты есептеуіш машина (АЕМ)болып табылатын модельдеуші құрылғыларды құруға көмектеседі. Осылайша, электрлі жылулық аналогтар негізінде, машина тұрғызу, энергетика, металлургия, химия өндірісі және тағы басқа техника салаларындағы техникалық құрылғыларға, әр түрлі конструкция элементтеріне қолданылатын жылу алмасу мен жылу өткізгіштік процесстерін модельдеу үшін түрлі құрылғылар жасалды. Бірақ, инженерлік тәжірибені жүргізу қарапайымдылығына әрі алынатын нәтижелердің инженерлік практикада нақтылықтың жеткіліктілігіне қарамастан, уақыт өте келе АЕМ-лар әмбебап және өнімді ЭЕМ-лармен алмастырылды. Сонымен қатар қазіргі кезде математикалық модельдерді өңдеу кезінде электр жылулық аналогтармен қатар, электромеханикалық және гидровликалық аналогтарын жобаланатын және зерттелетін техникалық объектілердің эквиваленттік жобаларын құру үшін әдістемелік мақсаттар қолданылады.

Қазіргі кезде математикалық  модельдер және ЭЕМ-ді қолданудағы есептуіш тәжірибелер жаңа ақпараттық технологияларға тән тәсілдерінің құрамдас бөлігі болып келеді. Математикалық модельдер бекітілген және бекітілмеген пікірлерді біріктіруге көмектесті және ЭЕМ-нің «арифметикалық, операциялық амалдарды адамға қарағанда бірнеше есе жылдам, нақты және дұрыс істеу және тағы басқа» қабілеттерін біріктіре біледі.[11]

Математикалық модель және есептеуіш тәжірибе мүмкіндіктерін іс жүзінде шынайылау жаңа, түп нұсқалары жоқ машиналар мен құрылғылар, материалдар мен технологияларды құру кезінде инженерлік жоспарлардың тиімділігін жоғарылатады, ол техникада физиканың, химияның механиканың және тағы басқа алдыңғы қатарлы ғылымның жетістіктерін қолдануға қажетті құрылғылар мен уақыттың шығынын қысқартуға көмектеседі. Математикалық модельдердің және есептеуіш тәжірибенің жоғарыдағы аталған мүмкіндіктері толығымен ашылмаған. Сондықтан оны бөлшектеп қарау керек.

1.2. Математикалық модельдеудің негізгі қадамдары.

Техникалық құрылғылар мен процесстерді математикалық модельдеу мәселелерін өңдеудің негізгі әдістемелерін құру және талдау үшін есептемелі тәжірибенің ортақ процедураларының қадамдарын жүргізудің тізбегін анықтайтын шартты сұлбасын алдын-ала қарастыру пайдалы болып келеді.( 1- сурет).[2] Бұл сұлбаның бастапқы позициясы техникалық объект болып табылады. Техникалық объект ретінде нақты техникалық құрылғыны, оның агрегатын немесе түйінін, құрылғылар жүйесін, қандай да бір жүйедегі немесе құрылғыдағы жеке жағдай немесе құбылысты, процессті қарастырамыз.

Бірінші қадамда қарастырылып отырған (өңделіп немесе бар) техникалық объектіден оның есептеу сұлбасына көшу жүзеге асады. Сондай- ақ, есептеуіш тәжірибенің  бағыты және оның соңғы мақсатына  тәуелді есептеу сұлбасында өз бейнесін табатын техникалық объект ерекшеліктері және жұмыс шарты сияқты қасиеттеріне көңіл бөледі және керісінше, есептеу сұлбасында қарастырылатын жағдайда әсері маңызды болмайтын техникалық объектінің қасиеттерін есепке алмауға көмектесетін қысқартуларды дәлелдейді. Кейде есептеу сұлбасының орнына техникалық объектінің маңызды моделі термині қолданылады, ал кейбір жағдайларда- тұжырымдама модельі делінеді.

Инженерлік пәндерде (мысалы, материалдар кедергісі, электроника және электротехника) есептеу сұлбасын сипаттаудың ауызша ақпараттарымен қоса арнайы тәсілдері және графикалық бейнелердің көрнекілік символдары дамытылған [13]. Техниканың жаңа бағыттарының дамуымен қатар бейнелемелер қалыптасу деңгейінде.

Жаңа техникалық объектіні қалыптастыру кезінде бірінші қадамды сәтті жүргізу көп жағдайда инженердің кәсіби деңгейіне, оның шығармашылық мүмкіндігіне және интуициясына тәуелді болады. Қарастырылатын мақсат тұрғысынан алғанда есептеу сұлбасында техникалық объект қасиеттерінің толық және дұрыстығы математикалық модель нәтижесінің анықтылығының алғы шарты болып табылады. Немесе, керісінше, қарапайым есептеу сұлбасын алуға арналған   техникалық объектінің күшті дәріптелуі зерттелудің кезекті қадамдарының барлығын бағаламауы мүмкін.

Екінші қадам есептеу сұлбасының ресми түрде математикалық сипатталуынан тұрады. Бұл техникалық объектінің есептеу сұлбасын сипаттайтын параметрлер арасындағы байланысты орнататын математикалық қатынастар түріндегі сипаттамаларды математикалық модель деп атайды[2].

1-Сурет

Кейбір типтік есептеу  сұлбалары үшін математикалық модельдің  банкілері болады, олар екінші қадамды  жүргізуді жеңілдетеді. Сонымен  қатар бірдей математикалық модель есептеу сұлбасына әртүрлі пәндік облыстардан сәйкес келуі мүмкін. Бірақ, жаңа техникалық объектіні өңдеу кезінде түрлі есептеу сұлбасын және оларға жауап беретін құрылған математикалық модельмен шектелу көп жағдайда мүмкін емес. Жаңа математикалық модель құру немесе бұрын құрылған математикалық модельді модификациялау үшін терең математикалық дайындыққа және математиканы ғылымның әмбебап тілі ретінде игеруге сүйену керек.

Үшінші қадамда математикалық құрудың сапалық және бағаламалы сандық талдауын жүргізеді. Сондай- ақ қарама- қайшылықтар туындауы мүмкін, оларды жою, есептеу сұлбасын қайта қарастыруды немесе толықтыруды (1- суреттегі штрихталған сызық) талап етеді. Сандық бағалау модельді ықшамдауға негіз бола алады, ол қарастырудан есептеу сұлбасында әсері ескерілмейтін кейбір параметрлерді шығарып тастайды. Көптеген жағдайда есептеу сұлбасы бойынша қосымша мүмкіндіктерді қабылдай отырып, белгілі әрі нақты шешімді алуға немесе ескеруге мүмкіндік беретін математикалық модельдің осындай қарапайым нұсқасын құру ыңғайлы. Бұл шешімді болашақта кезекті қадамдардың нәтижелерін тестілу кезінде салыстыру үшін қолдануға болады. Кей жағдайларда бір ғана техникалық объект үшін түрлі ықшамдау деңгейлерімен ерекшеленетін бірнеше математикалық модель құруға болады. Бұл жағдайда математикалық модель иерархиясы жайлы айтылады( гректің ierarcia сөзі erός-қасиетті және αrcή- билік сөздерінен шығады және берілген жағдайда математикалық моделді күрделік және толықтылық белгілері бойынша реттеу дегенді білдіреді).

Математикалық иерархияны құру қарастырылатын техникалық объектінің қасиеттерін әртүрлі талдаумен байланысты. Әртүрлі математикалық модельдерді зерттеудің нәтижелерін салыстыру осы техникалық объект туралы білімді кеңейтіп, байытуға мүмкіндік береді. Сондай-ақ, мұндай салыстырулар келесі есептеуіш тәжірибелер нәтижелерінің дұрыстығын бағалауға мүмкіндік береді: егер қарапайым математикалық модель техникалық объектінің кейбір қасиеттерін дұрыс бейнелесе, онда осы қасиеттерді зерттеу нәтижелері толық және күрделі математикалық модельдерді пайдалану кезінде алынған нәтижелерге жуық болуы керек.

Қарастырылатын қадамдағы  талдау нәтижесі- бұл кейін толық  сандық талдауға жататын жұмысты  математикалық модельдің техникалық объектіні таңдауға негізделген. Үшінші қадамды сәтті жүргізу, нақты заттық облыстағы инженерлік білім мен математиканы пайдалана білу әрекеттерінің бірлесуі болып табылатын есептеу сұлбасында бейнесін тапқан техникалық объект қасиеттері мен математикалық модель құрастырушыларының жеке байланысын терең ұғуға тәуелді болады.

Төртінші қадам есептеуіш  тәжірибенің тиімді алгоритмін құруда математикалық модель сандық талдау әдісінің негізгі таңдамасынан тұрады, ал бесінші қадам- есептеуіш техника құралдарының (жұмысқа жарамды) көмегімен осы алгоритмді жүзеге асыратын, жұмысқа қабілеті бар бағдарламаны құруға негізделген. Төртінші қадамды сәтті жүргізу үшін қазіргі заманғы есептеуіш математика әдістерін білу керек, ал күрделі техникалық объектіні математикалық модельдеу үшін бесінші қадамды орындау ЭЕМ-де бағдарламалау облысында кәсіби дайындықты талап етеді.

Алтыншы қадамда алынатын (бағдарлама жұмысының қорытындысы) есептеулер нәтижесі ең алдымен, қарастырылатын техникалық объектінің математикалық моделінің қысқартылған нұсқасының сандық талдауының мәліметтерімен салыстыру жолымен тестілеуден өтуі керек. Тестілеу бағдарламадағы, сондай-ақ алгоритмдегі кемшіліктерді шығарады және бағдарламаны толықтыруды немесе бағдарлама мен алгоритмді модификациялауды талап етуі мүмкін. Есептеулер нәтижесін талдау және оларды инженерлік талдау есептеу сұлбасын және сәйкес математикалық моделді түзетуді талап етуі мүмкін. Барлық қателерді түзеткеннен кейін «модель- алгоритм- бағдарлама» үштігін есептеуіш тәжірибені және техникалық объектіні жүзеге асыруға бағытталған тәжірибелік ұсыныстардың көптеген ақпараттарын алуға негізделген өнімділік үшін жұмыс құралы ретінде қолдануға болады, бұл математикалық модель қадамының «технологиялық цикл» деп аталатын, соңғы, жетінші қадамның мазмұнын құрайды.

Ұсынылған қадамдар тізімі ортақ және әмбебап сипатқа ие, бірақ, кейбір нақты жағдайларда ол өзгеруі мүмкін. Егер техникалық объектіні өңдеу кезінде типтік есептеу сұлбасы мен математикалық модельді қолдануға болса, онда қадамдар қатарын орындауда қажеттілігі жоққа шығарылады, ал сәйкес  бағдарламалық кешен кезінде есептеуіш тәжірибе процесі автоматтандырылған болады. Бірақ, түп нұсқаға ие болмайтын техникалық объектінің математикалық моделі сипатталған «технологиялық цикл» қадамдарының барлығын қолданумен байланысты.

1.3. Инженерлік  пәндердегі математикалық модельдер.

Жоғарыда аталған математикалық модельдердің қадамдарын жүзеге асыру үшін белгілі бір білімнің, дағдының және практикалық дайындықтың болуы керек. Егерде, бірінші, жетінші және алтыншы қадамдар инженерлік білімді талап етсе, ал екінші, үшінші және төртінші қадамдар математикалық дайындықтың мықты болуын талап етеді. Бесінші қадам- ЭЕМ-бағдарламаларын өңдеуді және жүзеге асыру дағдыларын талап етеді. Сондықтан күрделі техникалық объектілерді математикалық моделдеу үшін математикатерді, инженерлерді, бағдарламалаушыларды жұмылдыруға тура келеді. Бірақ олардың күштерін үйлестіру үшін қарастырған қадамдарды жоғары деңгейде жүзеге асыратын мамандар қажет.

Мұндай мамандарды дайындау негізгі проблемалардың бірі болып табылады, және сондықтан аталған проблеманы шешу кезіндегі тиімді шешімнен техникалық құрылғыларды,  олардың жүйелерін құруға арналған математикалық модельдерді қолдану мүмкіндігінің эффектілігі тәуелді болады.

Жоғарыда айтылған проблеманы шешудің табыстылығы жоғары математика, физика, теориялық механика, химия, информатика және инженерлік пәндер курстары арасында пәнаралық байланысты нығайтуға тәуелді. Сондай-ақ, жаратылыстану және ғылыми пәндерде қарастырылатын және техниканың нақты облыстарындағы техникалық объектіні функционалдаудың негізі болатын құбылыстар мен процестердің математикалық моделдері байланыстырушы түйіні болады.

Бұл байланыс болашақ инженердің арнайы дайындығының және жаратылыстану, ғылыми-математикалық циклдардың сабақтастығын және методикалық тұтастығын қамтамасыз етеді.

Қолданбалы механика (материалдар кедергісі), гидравлика, жылу массасын алмасу теориясы, электротехника, электроника және тағы басқалары сияқты инженерлік пәндерді белгілі бір позицияларда есептеу сұлбаларының және техникалық объектілердің математикалық модельдерінің реттелген жиыны ретінде қарастыруға болады[1]. Инженерлік пәндерде, ең алдымен, техниканың берілген салаларында жиі кездесетін типтік элемент деп аталатын есептеу сұлбаларын және математикалық модельдерді қарастырады. Мысалы, электроникада типтік элементтер рөлін пассивті электрлі екі полюстер: резисторлар, конденсаторлар және индукциялық катушкалар атқарады(3,1. қара). Бірақ, оның жұмыстарының шартына тәуелді қарапайым элементтерге бірнеше есетеу сұлбасы сәйкес келеді және математикалық модельдер иерархиясы туралы сөз айтуға болады.

Электротехника және электроникада типтік элементтердің математикалық моделі мен есептеу сұлбасының банкі ұйымдастырылған, немесе осы элементтер арасындағы байланысты көрсететін графикалық көрнекілігінің бейнеленген жүйесінің арасындағы үйлесімділік күрделі құрылғылардың математикалық модельдерін құруға көмектеседі. Осыған ұқсас жағдайлар инженерлік пәндерде де кездеседі, олардың зерттеу салаларына механикалық, жылулық, пневмогидравликалық жүйелер және физикалық табиғаттың әртүрлі процесстері-бір уақытта болатын жүйелер жатады. Материалдар кедергісінде есептеу сұлбасының банкі типтік элементтердегі механикалық кедергілердің немесе алмасулардың таралуы туралы қабылданған тұжырымдамалардың (гипотеза) негізіндегі осы элементтердің формаларын ескеру арқылы құрылады. Және де әрбір есептеу сұлбасына(стержень, пластина, қабық) қолдану облысы қабылданған тұжырымдамалармен шектелген математикалық модельдер сәйкес келеді. Типтік элементтердің есептеу сұлбасын формалау кезінде тұжырымдамалардың анықтауыш рөлін атап өту керек. Сондай-ақ, жасанды және әдетте тексерілуі қиын тұжырымдамамен салыстырғанда қарапайымдарын қолданған орынды. Егер қарапайым тұжырымдама дұрыс болса, онда оны әдетте дәлелдеу және тәжірибе жүзінде дәледеу жеңіл және керісінше, егер ол күдік тудырса, онда оны мысалдар немесе тікелей бақылаулар негізінде немесе сәйкес қойылған тәжірибелер негізінде, немесе осы гипотезаларды қолданып құрылған математикалық модельдердің сандық талдау сатысында қарама- қайшы нәтижелерді алу кезінде дұрыс еместігін дәледеуге болады. Бірақ, қарапайым гипотезаларды қабылдау әрқашанда қарастырылатын техникалық объектінің қарапайым есептеу сұлбасы мен математикалық моделін құруда тиімді бола бермейді.

Инженерлік пәндерде математикалық модельдерді құру ерекшеліктеріне тоқталып өтейік.

Әдетте математик-теоритик өзінің зерттеулері үшін бұрын құрылған математикалық модельді қабылдайды, яғни өз жұмысын математикалық тапсырманы тұжырымдаудан бастайды және осыдан кейін осы тұжырымдамаға күдік тудырмайды, тек өзінің түрлендірулері мен есепті шешу қадамдарын дәлелдейді. Ал кейбір жағдайларда алынған нәтижелерді нақты технихалық объектіге қолдануға болады. Бірақ техникада жеңіл тапсырмалардың өзін осылай қоюға болмайды. Техникалық тапсырманың кез-келген тұжырымдамасы шартты болып келеді. Егер осындай тапсырманы тұжырымдаудың кейбір салдары дұрыс болмаса, немесе қолайсыз болса, онда тапсырманы қайта тұжырымдау керек болады, себебі математикалық модельді құру кезінде жазылған математикалық символдардың кез келген тізбегі зерттелетін нақты техникалық объектімен байланысты маңызды сипаттағы пайымдаудың жүйесі болып табылады. Сондықтан техникалық объектіні математикалық модельдеу кезінде тапсырманың маңызды және математикалық жақтарын байланыстыра отырып ескеру керек.

Нақты техникалық объектіге математикалық модельдің салыстырмалы сәйкестігін естен шығару қателіктерге әкелуі мүмкін.

Бұл жағдайда математик, механик және кеме тұрғызушысы А.Н. Крыловтың  (1863-1945) төмендегі сөздері  орынды болады: «Математикалық есептеулер қанашалықты тура болғанымен, ол өзі негізделген алғышарттағы жуықтаулардан нақты болмайды.

Ол туралы көбінесе ұмытып, басында өрескел жуықтаулар немесе жорамалдар жасайды, көбінесе оларды ескермей, оған үлкен сенім артады.»

Айтылған ерекшеліктер қарастырылатын техникалық объектінің есептеу сұлбасын қалыптау қадамдарын математикалық модельді құру қадамдарымен қиыстыра алу мүмкіндігінің маңыздылығын тағы да атап өтуге себеп болады(1- суреттегі І және ІІ қадамдар). Бұл шеберлік студенттерде әдетте пәнаралық курстық жұмыстар мен проектілерді орындау кезінде қалыптасады. Мұндай дағдыларды қалыптастыру үшін арнайы оқу құралдары керек, оларда, яғни инженерлік пәндерде оқытылатын техникалық объект мысалдарында, қарастырылатын қадамдардың өзара байланысы толдық және дәлелді түрде ашылу керек. Мұндай оқу құралының мысалы ретінде бес рет қайта басылып шыққан В.И. Феодосьевтің «Избранные задачи и вопросы по сопративлению материалов» атты кітабын атап өтуге болады, оның мазмұны мен әдістемелік мағынасы техникалық объектінің математикалық модельдеуінің ерекшеліктерін терең түсінуге көмектеседі.

Бұл үштікте негізгі  назар есептеуіш техника құрылғыларының көмегімен есептеуіш математика әдістерімен құрылған математикалық  моделді талдау проблемасына аударылған(яғни, 1- суреттегі IV және V қадамдар). Математикалық моделді құруға немесе бағдарламалар пакетін немесе алгоритмдерді өңдеумен байланысты қадамдарды бөлектеу осы қадамдарды жеке-жеке орындауға үйрету сияқты матемтикалық модельдеудің артықшылығын тиімді қолдануға жеткіліксіз. Қазіргі кездегі ЭЕМ-нің мүмкіндіктерінің жетістігі бұл проблеманы шешпейді. Есептеуіш техникада «интеллектуалды ядросы» болуы керек, ол, бағалау бойынша, өңделген ақпараттық технологияның жалпы бағасының 80% құрайтын математикалық қамсыздандыру болып табылады.

Қазіргі ЭЕМ-нің қолданушыларға ұсынатын бағдарламалық қамсызданыруларының қолайлылығы математикалық модельдердің сандық талдау кезінде MathCad, Mathlab және тағы басқалары сияқты әмбебеап пакеттерге сүйену талаптарына әкеледі. Сондай- ақ математикалық модельдердің әмбебаптығы және типтік математикалық модель банкін қалыптау Nastran немесе ANSYS типті бағдарламалық кешенін құруға мүмкіндік береді, оларға бастапқы ақпарат тек математикалық модель түрінде ғана емес, қарастырылатын техникалық объект түрінде де енгізіледі[11].

Бірақ, көптеген стандартты есептерді шешуге жарайтын әдістер, көбінесе, нақты бір есептерді, әсіресе стандартты емес есептерді шешуге ең жақсысы болып табылмайды, кейбір жағдайда тіпті қолданылмауы да мүмкін. Бірақ, инженерлік практикада негізінен стандартты емес есептерді шешуге тура келеді, себебі стандартты есептердің барлығы шешілген немесе еш қиындықсыз шешілуі мүмкін. Өзіне ұқсасы жоқ жаңа және күрделі есептерді шешу кезінде әмбебап пакеттер мен программалық кешендерге ресми түрде қатынасу қарастырылатын техникалық объекті түсіндіруге келмейтін нәтижелерді алып келуі мүмкін. Мұндай жағдайларда, есептеулер мақсаты- сан емес, түсіндіру екендігін естен шығармай ЭЕМ-ң қолданысын, аналитикалық әдістерді және сандық бағалаулар әдісін тауып, бір-бірімен байланыстырып, математикалық модельді талдауды құру керек. Мұның барлығы ЭЕМ бізді көптеген қиындықтар мен міндеттерден босататындығы туралы айтады. Бірақ, ол бізді екі нәрседен босатпайды, олар- математиканы үйрену және шығармашылық ойлау мүмкіндіктері.

2- тарау. Математикалық модельдеу.

Математикалық модельдеудің негізгі қадамдарының (1- сурет) тізбегінде бастапқы рөлді қарастырылатын техникалық объектінің математикалық моделі атқарады. Сондықтан ең алдымен басты назарды математикалық модельдің негізгі қасиеттеріне және оларға деген талаптарға, сондай- ақ математикалық модель классификацияларына аудару керек.

2.1. Математикалық  модель түсінігі, құрылымы, қасиеттері.

Қоршаған ортамен араласып, қарым-қатынас жасаудың нәтижесінде  адам  өз танымына  қарай  модель  құрайды.

Танымдық процесс зерттелінетін (танылатын) объектіге және зерттеуші (танушы) субъектіге байланысты. Зерттелетін  объектіде больп жатқан оқиғаны  бақылап, керек болса оқиғаға  кірісіп, қойған сұрақтарына жауап  алумен қатар, объектіге қатысты  информацияларды жинақтап, қорытып, субъект пен объектіге тән құбылысты түсініп, өзінің көзқарасын белгілі бір формада бекітеді. Осы затқа тән нақтылы ақпараттарға негізделген зерттеушінің субъективтік танымы - объектінің моделі болып есептелінеді[14].

Сөйтіп, танымдық процесстің негізгі қызметі-ақпаратты жинау, сақтау және қорыту болса, осылар модельдеудің негізі сипаттамасын береді деуге болады.

Қоршаған дүниені ұғудың танымдық типтері, әрі нақты процессті  сипаттаудың жолы әртүрлі. Бұған  жататындар ғылым, философия, дін, мәдениет, әдебиет т.б. Ал бұларға тән ортақ байланыс бар ма? Мысалы, ғалым - атомның құрылысын, қоғамның өмір сүру заңдарын т.б.; философ -өмір туралы және адамның өмірдегі орны; дін - адамның мәңгілік жасау мүмкіндігін, құдайдың қағидалық ұғымдары туралы; жазушы детективтік роман немесе трагедиялық әңгіме жазады; суретші теңіз жағасындағы күннің бату кезіндегі құбылысты беретін немесе басқа суреттер салса, ал композитор бір оқиғаға арнап симфония жазуы мүмкін ...

Осы зерттеушілердің  қайсысы болмасын өзін қоршаған ортаны түсінуі үшін, әртүрлі құралдың көмегімен өзінің танымын жинақтайды. Сөйтіп, зерттеушілер процессті еріксіз модельдеу арқылы өзінің көзқарасын береді.

Бізді қоршаған дүниедегі  объектілердің ғылыми танымдылығын жеткізу үшін әртүрлі математикалық тәсілдердің қолданылатынын пайымдайық. Ол үшін аздап математиканың маңызына және оның басқа ғылымдармен байланысына, әрі кейбір ерекшеліктеріне тоқталайық.

Физика мен химияның, биология мен психологияның, социология мен археологияның қолданылуы толық айқындалып, әрі қарай дамуда. Лазерлік шашырау және ацетиленді синтездеу, клеткалардың кұрылысы және жеке меншіктің өмір сүру принциптері, жер қабатының эрозиясы және Рим империясының құлдырауы нақтылы объекгілерге байланысты жүрді. Бұларды ұғу, зерттеу адамзат үшін міндетті болды. Себебі бұның бәрі бізді қоршаған өмірде болған оқиғалар. Ал математика болса тек қана абстрактылы ұғымдардан, яғни сандардан, функциялардан, жиындардан, қисындардан тұрады. Бұның бәрі, негізінде, табиғатта жоқ, адам миының ойлау қабілетінің нәтижесі. Сөйтіп, математика операциялық жұмысты идеалдық дүниемен адам идеясы бойынша атқарады.

Өмірде кездесетін ғылымдардың  көбі бір-бірімен байланысты болғанмен, қолдану шекарасы айқындалған. Физикамен айналысатын таза физик жекеменшік формаларының өзара қатынасын түсіндіре алмайды. Тарихшыға химиялық реакцияны зерттеу қиын. Дәрігер ядролық ұсақ бөлшектердің өзара әсерлесу зандылығын медицина ғылымында қолданып, түсіндіре алмайды. Ал, өзінің қадірін білетін математиктің алдында ешқандай кедергі тұрмайды. Әртүрлі ғылыми пәндердің жасанды шекарасы математика моделін қолдануға бөгет болмайды. Таза математик бола тұрып, адамзаттың әртүрлі формадағы қызметіне батыл кірісіп, айтарлықтай жетістіктерге жетеді. Осыдан математика өзіне тән қасиеттер арқылы, барлық саланы қамтуға тырысатындығы және нақты не бере алады деген ой туады. Физика, социология немесе географияға қолданған 'ғылым'- деген термин Математикада өзін ақтай ала ма? Әлде дүниетанудың логикалык басқа формасы болуы мүмкін бе? Нақты қойылған кәделі есептерді шығарудағы абстрактілі математикалық әдістердің табысын қалай түсіндіреміз деген табиғи сұрақ туады. Қоршаған ортада кездеспейтін сандар,  функциялар, теңдеулер,  операторлар планеталардың қозғалысын, химиялық элементтердің өзара әсерлесуін, генетикалық информацияның берілуін, еркін нарықта бағаның алмасу механизмін т.б. процесстердің сырын түсіндіріп, анықтайды. Қалайша болды деп тығырыққа тірелген НӘРСЕ математикалық танымның арқасында санамызға жетіп, нақты НӘРСЕГЕ айналады.