Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Моделирование работы заправочной станции

Московский Государственный Университет Технологии и Управления (Калининградский филиал)

Кафедра «Управление Информацией»

Курсовая работа

По дисциплине: Информационные технологии

Тема: Выбор наилучшей регрессионной модели

Выполнил:	Мацнев А.В.
Группа: АСУ-08
Проверил:	Новиков А.В.

2011 г.

Калининград

Оглавление

I.	Введение	3
	1. Задачи регрессии	3
	2. Регрессионная модель	3
	3. Этапы решения регрессионного анализа 4. Определение типа функции 5. Формы связи. Прямая и обратная регрессии 6. Типы функций 7. Линейная однофакторная регрессия. Метод наименьших квадратов. 8. Возможности и функции MathCAD	4 4 5 5 6 7
II.	Задание по курсовой работе	8
	1. Постановка задачи	8
	2. Кубическая парабола	9
	3. Квадратная парабола	11
	4. Степенная функция	12
	5. Коэффициент взаимной корреляции	14
	6. Вывод	17
III.	Список использованной литературы	18

-2-

I. ВВЕДЕНИЕ

1. Задачи регрессии.

Вычисление регрессии - это метод измерения связи между одной или несколькими причинами и следствием.

Разработано множество методов изучения связей, выбор которых зависит от целей исследования и от поставленных задач. Вместе с тем следует учитывать, что полную характеристику каждому типу явлений можно дать при использовании системы признаков. Признак - это основная отличительная черта, особенность изучаемого явления или процесса. Количественное представление признака называется показателем.

Признаки по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса: факторные и результативные.

Результативный признак - исследуемый показатель любого процесса, как правило, характеризующий эффективность процесса.

Факторный признак - показатель, влияющий на значение результативного показателя.

Для экономических явлений характерны корреляционные связи: конкретной величине причины противостоят различные, но находящиеся в определенных пределах величины следствия, так как на действительную связь влияют второстепенные причины. Влияние второстепенных причин исключают, приводя корреляционную связь к функциональной, на которую влияют только основные причины. Функциональная связь выражается уравнением.

Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака Y от факторных признаков (x₁, x₂, …, x_n) выражаемой в виде уравнения регрессии:

Y = f(x₁, x₂, …, x_n)

2. Регрессионная модель.

Запись выявленной связи между результативным показателем и факторами в виде уравнения в постановке, когда реализация результирующего показателя имеет случайную составляющую, а факторы - детерминированные.

Теоретической линией регрессии называется та линия, вокруг которой группируются точки корреляционного поля и которая указывает основное направление, основную тенденцию связи.

Регрессионный анализ часто ограничивается простой связью между одной причиной и одним следствием. Связь можно исследовать комплексно при помощи множественной регрессии, как связь между следствием и двумя или многими причинами.

Там, где это целесообразно, следует ограничиваться простой регрессией. Так, например, между расходами на товары и коммунальные услуги и доходом семей очень трудно установить закономерную связь. Она становится видимой, если привлечь сюда еще данные о величине семей.

-3-

В таких случаях следует прибегать к множественной регрессии. Но ее нужно, однако, обязательно ограничивать необходимым числом причин; так, в приведенном примере следует отказаться от данных о числе лиц, получающих доход.

Таким образом, одной из проблем построения уравнения регрессии является ее размерность, т.е. определение числа факторных признаков, включаемых в модель. Их число должно быть оптимальным.

Сокращение размерности за счет исключения второстепенных, несущественных факторов позволяет получить модель, реализуемую быстрее и качественнее. В то же время построение модели малой размерности может привести к тому, что она будет недостаточно точно описывать исследуемое явление или процесс. Практика выработала определенный критерий, позволяющий установить оптимальное соотношение между числом факторных признаков, включаемых в модель, и объемом исследуемой совокупности. Согласно данному критерию число факторных признаков должно быть в 5-6 раз меньше объема изучаемой совокупности.

3. Этапы решения регрессионного анализа.

Регрессионный анализ включает следующие этапы:

определение типа функции;
определение и проверку коэффициентов регрессии;
расчет значений функции для отдельных значений аргумента;
исследование рассеивания по отклонениям расчетных значений от эмпирических данных.

Решающим этапом регрессионного анализа является определение типа функции, так как от этого зависит, правильно ли алгебраическое уравнение отражает сущность связи между явлениями.

4. Определение типа функции.

Чтобы можно было правильно определить тип функции, нужно из эмпирических данных получить ответ на следующие вопросы:

каково направление связи;
изменяется ли направление связи в исследуемой совокупности, т.е. является ли зависимость монотонной;
вытекает ли форма связи из равномерно ускоряющихся или замедляющихся изменений, т.е. имеет связь линейный или нелинейный характер.

Необходимые для определения типа функции сведения получают из эмпирического материала. Представление о направлении и форме связи (аналитическому выражению) получают путем параллельного сравнения рядов и из графика. Пары величин Y и х располагают по величине х.

-4-

5. Формы связи. Прямая и обратная регрессия.

По направлению связи различают:

прямая регрессия, возникающая при условии, если с увеличением или уменьшением независимой величины х значения зависимой величины Y также соответственно увеличиваются или уменьшаются;
обратная регрессия, появляющаяся при условии, что с увеличением или уменьшением независимой величины х зависимая величина Y соответственно уменьшается или увеличивается.

Для определения формы связи рекомендуется сравнить разности между следующими друг за другом величинами признаков. Если признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная.

Если тенденция изменения Y в зависимости от изменения х отсутствует, то это свидетельствует о сильной вариации Y или о невозможности установить наличие действительной связи.

Все приведенные выше рассуждения относительно х и Y относились к парной регрессии, характеризующей связь между двумя признаками: результативным и факторным.

6. Типы функций.

Для характеристики связей разнообразных явлений используются, прежде всего, следующие типы функций:

линейная

гиперболическая

показательная

параболическая

степенная

логарифмическая

логистическая

-5-

7. Линейная однофакторная регрессия. Метод наименьших квадратов.

Линейная однофакторная регрессия - это уравнение связи результативного показателя и фактора в виде линейного уравнения:

где Y - результирующий фактор; х - фактор.

Для нахождения параметров a₀ и a₁ уравнения регрессии обычно используют метод наименьших квадратов .

Сущность метода наименьших квадратов заключается в нахождении параметров модели a₀ и a₁, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии.

Для линейной однофакторной модели

Функция двух переменных S(a₀, a₁) может достигнуть экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е. когда

Вычисляя эти частные производные, получим:

После несложных преобразований получаем систему нормальных уравнений для определения величины параметров а₀ и а₁ уравнения линейной однофакторной модели:

где п - объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдений).

-6-

В уравнении регрессии свободный член регрессии коэффициент а₀ показывает совокупное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов; его вклад в значение результирующего показателя не зависит от изменения факторов; параметр а₁ - коэффициент регрессии - показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

8. Возможности и функции MathCAD

MathCAD содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

Среди возможностей MathCAD можно выделить:

Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами
Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.)
Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте
Выполнение вычислений в символьном режиме
Выполнение операций с векторами и матрицами
Символьное решение систем уравнений
Аппроксимация кривых
Выполнение подпрограмм
Поиск корней многочленов и функций
Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей
Поиск собственных чисел и векторов
Вычисления с единицами измерения

Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров

С помощью MathCAD инженеры могут документировать все вычисления в процессе их проведения.

-7-

II. ЗАДАНИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ

1.Постановка задачи.

Предприятие розничной торговли расширяет площади магазинов по реализации товаров народного потребления. С ростом площадей растёт прибыль от реализации разнообразной продукции. Динамика роста площадей и прибыль от реализации продукции заданы в таблице.

х- торговые площади (тыс. м² )	1	1.2	1.6	2	2.4	2.7	3.2	3.6	4	4.2	4.6	5
Y- прибыль от реализации продукции (млн. руб.)	1.4	2.5	2.4	4.9	5.6	6.2	7.7	11.5	10.9	11.9	13.3	13.6

Аппроксимировать эту зависимость методом наименьших квадратов с помощью функций , , . Сравнить результаты полученных вычислений и выбрать наилучшую модель по величине индекса корреляции. Результаты расчётов отобразить графически.

-8-

2. Кубическая парабола.

Функция:

применяя метод наименьших квадратов, мы получим уравнение:

Для нахождения значений неизвестных коэффициентов a₀, a₁, a₂ , a₃ при которых функция S(a₀, a₁, a₂, a₃) была бы минимальной, необходимо приравнять частные производные по этим величинам к нулю, т.е.

Проведя соответствующие преобразования, получим систему нормальных уравнений:

Для определения величин а₀ , а_1,а₂, а₃ в кубической параболе необходимо вычислить следующие значения:

-9-

Расчет параметров уравнения кубической регрессии:

Эту систему четырёх уравнений с четырьмя неизвестными можно решить методом Гаусса. Система нормальных уравнений имеет решение:

В результате расчетов получаем: а₀=1.7533, а₁= -1.7432, а₂=1.8971, а₃= -0.2141

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

Y_x= 1.7533 - 1.7432*x + 1.8971*x² – 0.2141*x³

-10-

Справедливость результатов классического расчёта коэффициентов уравнения кубической регрессии подтверждается использованием встроенной функции regress:

3. Квадратная парабола.

Функция:

применяя метод наименьших квадратов, мы получим уравнение:

Для нахождения значений неизвестных коэффициентов a₀, a₁, a₂ при которых функция S(a₀, a₁, a₂) была бы минимальной, необходимо приравнять частные производные по этим величинам к нулю, т.е.

Получим систему нормальных уравнений:

-11-

Все необходимые вычисления были сделаны ранее в кубической регрессии. Таким образом, можно сразу рассчитать коэффициенты уравнения функцией regress:

4. Степенная функция.

Функция:

применяя метод наименьших квадратов, мы получим уравнение:

Получим систему нормальных уравнений:

Для определения величин а₀, а₂ в кубической параболе необходимо вычислить следующие значения:

-12-

Расчет параметров уравнения регрессии:

Эту систему уравнений так же как и в случае с кубической параболой можно решить методом Гаусса. Система нормальных уравнений имеет решение:

На графике показаны экспериментальные данные и уравнение степенной регрессии

-13-

5.Коэффициент взаимной корреляции.

Обычно коэффициент корреляции r применяется только в тех случаях, когда между данными существует линейная связь. Если же связь нелинейная, то пользуются индексом корреляции, который рассчитывается по формуле:

где y_i – экспериментальные значения, Y_i – теоретические значения (рассчитанные по подобранной МНК формуле), М_y – среднее значение y.

Индекс корреляции по своему абсолютному значению колеблется в пределах от 0 до 1. При наличии функциональной зависимости индекс корреляции близок к 1. При отсутствии связи R практически равен 0. Индекс корреляции является мерой тесноты связи для нелинейных зависимостей.

С учетом вышесказанного исследователь для одной выборки экспериментальных данных обычно создает несколько регрессионных моделей и по коэффициенту взаимной корреляции определяют наилучшую модель.

Вычислим коэффициенты взаимной корреляции к вышеизложенной задаче:

А)Для кубической параболы:

Рассчитаем значения функции по уравнению регрессии в зависимости от значений элементов вектора х

Определим сумму квадратов разностей экспериментальных значений и теоретических значения, рассчитанных по формуле. Вычислим среднее по выборке результативного признака Y. Определим сумму квадратов разностей экспериментальных значений и среднего по выборке.

-14-

Определяем коэффициент взаимной корреляции

Б)Для квадратной параболы:

Примечание: так же как и в случае для кубической параболы схема вычисления данных будет такой же.

-15-

В)Для степенной функции:

Расчёты коэффициента взаимной корреляции для разнообразных типов функций вычисляются стандартными шагами. И как в предыдущих случаях схема вычислений не изменится.

Таким образом, показано, что индекс корреляции наибольший у модели кубической параболы и составляет R = 0.9894. следовательно, эта модель наилучшим образом описывает исходные данные задачи.

Моделирование работы заправочной станции 📙 Дипломная → 🆔 9640