Оператор Лапласа. Основные свойства

 

Содержание

 

Введение3

ГЛАВА I. Оператор Лапласа. Основные свойства5

1.1 Краткие исторические сведения5

1.2 Основные понятия операционного исчисления7

1.3 Свойства преобразования Лапласа9

1.4 Обратное преобразование Лапласа 16

1.5 Возможные применения операционного метода19

ГЛАВА II. Применение операционного исчисления к решению задач30

2.1 Нахождение изображения функции по известному оригиналу30

2.2 Нахождение оригинала функции по известному изображению32

2.3 Вычисление интегралов34

2.4 Решение систем дифференциальных уравнений39

2.5 Решение дифференциальных уравнений с помощью интеграла

      Дюамеля42

2.6 Решение интегральных уравнений и систем интегральных уравнений43

Заключение45

Литература46

Приложение. Таблица оригиналов и изображений47

 

 

 

Введение

 

Актуальность  темы. Преобразование Лапласа – интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинала). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения, а также системы таких уравнений. Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчетах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые отношения над их изображениями. В математической литературе имеется достаточно много сведении об операторе Лапласа в теоретическом плане. Но в ней имеется мало сведений о приложении операционного метода (например, решение дифференциальных уравнений высших степеней).Применение операционного метода позволяет решать такие задачи, которые раньше были неразрешимы. Отсюда вытекает актуальность темы дипломной работы.

Цель работы: изучить оператор Лапласа и его применение к решению задач.

Задачи дипломной  работы:

1. Рассмотреть преобразование Лапласа и основные понятия, связанные с ним.
2. Изучить основные свойства преобразования Лапласа.
3. Изучить суть операционного метода и уяснить в чем его преимущество.
4. Применить указанный метод к решению конкретных задач.

Объект исследования: преобразование Лапласа и его основные свойства.

Предмет исследования: применение операционного метода при решении задач математического анализа.

Методы исследования: систематизация, обобщение, аналогия, классификация.

Значимость результатов, полученных в работе:

1. На основе определения преобразования Лапласа и его свойств показаны способы перехода от оригинала к изображению функции, что является значимым шагом при решении задач операционным методом.
2. Рассмотрено более пяти типов задач, решаемых операционным методом.
3. Самостоятельно решены задачи на нахождение оригиналов функции по её изображению, решены дифференциальные уравнения высших степеней, системы дифференциальных уравнений.

Практическая  и теоретическая ценность. Работа носит теоретический и практический характер. Результаты работы могут быть применены как при изучении оператора Лапласа, так и при изучении его приложений в математическом анализе. Дипломная работа может оказать помощь и при самостоятельном изучении данного раздела математики.

Краткое содержание работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, оглавления и списка литературы.

Первая глава посвящена  изучению теоретической части преобразования Лапласа. В пункте 1.1 приводятся краткие  исторические сведения. В пункте 1.2 вводятся основные теоретические сведения преобразования Лапласа. В пункте 1.3 рассмотрены свойства преобразования. Пункт 1.4 посвящен обратному преобразованию Лапласа. В пункте 1.5 рассмотрены теоретические сведения по применению операционного метода при решении задач.

Вторая глава посвящена  решению практических задач: нахождение оригинала и изображения функции, нахождение интегралов, решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, решение интегральных уравнений и систем интегральных уравнений. Всего в работе рассмотрено 35 задач.

 

 

 

ГЛАВА I. Оператор Лапласа. Основные свойства

1. Краткие исторические сведения

 

Операционное исчисление – раздел математики, занимающийся главным образом алгебраическими операциями, производимыми над символами операции (или преобразования).

Появление операционного  метода относят к середине XIX века. В это время появился ряд сочинений, посвящённых так называемому символическому исчислению и применению его к решению некоторых типов линейных дифференциальных уравнений. Среди сочинений по символическому исчислению следует отметить вышедшую в 1862 году в Киеве обстоятельную монографию русского математика М. Е. Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений». В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.

В 1892 году появились работы О. Хевисайда, посвящённые применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах. Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач [2, 8].

Немаловажное значение в  развитие операционного исчисления внес Пьер-Симон Лаплас. Пьер-Симон Лаплас (23 марта 1749 — 5 марта 1827) — выдающийся французский математик, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей.

Родился в крестьянской семье  в Бомон-ан-Ож. Учился в школе бенедиктинцев. Состоятельные соседи помогли поступить в университет города Кан (Нормандия).

Посланный им в Турин и напечатанный там мемуар «Sur le calcul intégral aux différences infiniment petites et aux différences finies» (1766) обратил на себя внимание учёных, и Лаплас был приглашён в Париж. Даламбер оценил юношу и помог устроиться преподавателем математики в Военную академию.

В 1773 применив математический анализ, Лаплас доказал, что орбиты планет устойчивы, и их среднее расстояние от Солнца не меняется от взаимного влияния. Даже Ньютон и Эйлер не были в этом уверены. За эту работу 24-летний Лаплас был избран членом (адъюнктом) Парижской Академии наук. А в 1785 Лаплас становится действительным членом Парижской Академии наук.

В 1799 вышли первые два тома главного труда Лапласа — классической «Небесной механики». В монографии излагаются движение планет, их формы вращения, приливы. Работа над монографией продолжалась 26 лет. Глубина анализа и богатство содержания сделали этот труд настольной книгой астрономов XIX века.

В 1812 издается грандиозная «Аналитическая теория вероятностей», в которой Лаплас также подытожил все свои и чужие результаты.

Умер Лаплас 5 марта 1827 года в собственном имении под Парижем, на 78-м году жизни.

Лаплас состоял членом шести Академий наук и Королевских  обществ, в том числе Петербургской Академии (1802). Его имя внесено в список величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни. При решении прикладных задач Лаплас разработал методы математической физики, широко используемые и в наше время. Особенно важные результаты относятся к теории потенциала и специальным функциям. Его именем названо преобразование Лапласа и уравнение Лапласа. Он далеко продвинул линейную алгебру; в частности, Лаплас дал разложение определителя по минорам. Лаплас расширил и систематизировал математический фундамент теории вероятностей, ввёл производящие функции. Лаплас развил также теорию ошибок и приближений методом наименьших квадратов [10].

 

2. Основные понятия операционного исчисления

 

Операционное исчисление – один из методов математического  анализа, позволяющий в ряде случаев  сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач.

Основными первоначальными  понятиями операционного исчисления является понятие функции-оригинала и функции-изображения.

  Пусть  – действительная функция переменного (под будем понимать время или координату).

Функция называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. .
2. – кусочно – непрерывная при , т.е. она непрерывна или имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке оси таких точек лишь конечное число.
3. Существуют такие числа и , что для всех выполняется неравенство , т.е. при возрастании функция может возрастать не быстрее некоторой показательной функции.

Число называется показателем роста .

Замечание. Функция может быть и комплексной функцией действительного переменного, т.е. иметь вид ; она считается оригиналом, если действительные функции являются оригиналами.

Изображением  оригинала  называется функция комплексного переменного , определяемая интегралом

 

Операцию перехода от оригинала  к изображению называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом и изображением записывают в виде

Теорема 1 (о существовании  изображения). Для всякого оригинала изображение существует (определено) в полуплоскости , где - показатель роста функции , причем функция является аналитической  в этой полуплоскости .

Следствие 1 (необходимый признак существования изображения). Если функция является изображением функции , то

 

Теорема 2 (о единственности оригинала). Если функция служит изображением двух оригиналов , то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны [6].

Пример 1. Найти изображение функции где a – любое число.

Решение. Данная функция является оригиналом. По формуле           имеем

 

 

 если .

Таким образом,

 

 

 

3. Свойства преобразования Лапласа.

1. Линейность.

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т.е. если – постоянные числа, то

Пример 2. Найти изображение функций

 

 

Решение. Пользуясь свойством  линейности, формулой (2), находим:

 

 

Аналогично получаем формулу 

 

 

2. Подобие.

Если , т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

Например, Тогда

 

3. Смещение (затухание).

Если  т.е. умножение на функцию влечет за собой смещение переменной .

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:

 

 

Пример 3. Найти оригинал по его изображению

 

Решение. Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:

 

4. Запаздывание.

Если  запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на .

Поясним термин «запаздывание». Графики функций  имеют одинаковый вид, но график функции сдвинут на единиц вправо (рис.2). Следовательно, функции описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией , начинается с запозданием на время .

              Рис.1                                      Рис.2                                      Рис.3

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения  функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсивные процессы.

Функция называется обобщенной единичной функцией (рис.3).

Так как 

Запаздывающую функцию 

 

можно записать так:

5. Дифференцирование  оригинала.

Если  и функции являются оригиналами, то

 

……………………………………….,

 

Пример 4. Найти изображение выражения

 

если 

Решение. Пусть . Тогда, согласно формулам (3) – (5), имеем

 

 

 

 

Следовательно,

 

Замечание. Формулы (3) – (5) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если если и, наконец, если т.е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на .

6. Дифференцирование  изображения.

Если , то

 

 

.................................,

 

…………………...,

т.е. дифференцированию изображения  соответствует умножение его  оригинала на

Пример 5. Найти изображение функции

Решение. Так как , то в силу свойства дифференцирования изображения, имеем т.е.

Далее находим  , т.е. . Продолжая дифференцирование, получим

 

Учитывая свойство смещения, получаем

 

Согласно формуле  Следовательно,

 

т.е. или

 

Аналогично находим 

 

С учетом свойства смещения и формул и , получаем

 

 

7. Интегрирование  оригинала.

Если  т.е. интегрирование оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на p.

8. Интегрирование  изображения.

Если  и интеграл сходится, то , т.е. интегрированию изображения от p до соответствует деление его оригинала на t.

Пример 6. Найти изображение функции ; найти изображение интегрального синуса .

Решение. Так как . Применяя свойство интегрирования оригинала, получаем

 

9. Умножение изображения.

Если , то

 

Интеграл в правой части формулы (7) называется сверткой функции и и обозначается символом , т.е.

 

Можно убедиться (положив  ), что свертывание обладает свойством переместительности, т.е.

Итак, умножение оригиналов равносильно их свертыванию, т.е.

 

 Пример 7. Найти оригинал функции

 

Решение. Так как

 
получаем, что

 

Аналогично получаем,

 

Следствие 2. Если также является оригиналом, то

 

Формула (8) называется формулой Дюамеля.

На основании свойства переместительности свертки формулу  Дюамеля можно записать в виде

 

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

10. Умножение оригиналов.

Если , то

 

где путь интегрирования –  вертикальная прямая [6, 9]

                 Рис. 4

 

4. Обратное преобразование Лапласа

 

Теорема 1. Если функция в окрестности точки может быть представлена в виде ряда Лорана

 

то функция

 

(при ) является оригиналом, имеющим изображение , т.е.

 

Пример 8. Найти оригинал , если

 

Решение. Имеем

 

Следовательно, на основании  теоремы 1

 

Теорема 2. Если   – правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет лишь простые корни (нули) то функция  

является оригиналом, имеющим  изображение 

Теорема 3. Если выражение является дробно-рациональной функцией от   – простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал , соответствующий изображению , определяется формулой

 

Можно сказать, что если   – правильная дробь, но корни (нули) знаменателя имеют кратности соответственно, то в этом случае оригинал изображения определяется формулой 

Общий способ определения оригинала  по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана – Меллина), имеющее вид

 

где интеграл берется вдоль  прямой

При определенных условиях интеграл (11) вычисляется по формуле

 

Замечание. На практике отыскание функций – оригинала обычно проводят последующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию  стараются представить в виде простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойствами линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.

Пример 9. Найти оригинал по его изображению

 

Решение. Пользуясь свойством линейности и формулами  и , получаем

 

Если использовать теорему 2 разложения, то будем иметь:

 корни знаменателя

и, согласно формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Возможные применения операционного метода

 

1)  нахождение оригинала по известному изображению.

1.1) Дробь разлагается в сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов. После этого изображение каждого слагаемого находится по таблице оригиналов и изображений [7].

Пример 10. Найти оригинал функции

 

Решение. Разложим знаменатель на множители. Уравнение имеет корни и ; уравнение действительных корней не имеет. Таким образом,

 

Разложение данной дроби  имеет вид:

 

Приведем правую часть  к общему знаменателю и отбросим знаменатели, одинаковые у получившихся дробей:

.

Из этого равенства  находим неопределенные коэффициенты A, B, M, N. Для этого раскрываем скобки в правой части, группируя слагаемые с и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частях получившегося равенства. Получим систему:

 

Решая эту систему получаем следующее значение коэффициентов:

Получили разложение дроби  в сумму простейших:

 

Пользуясь свойством линейности и формулами 2, 4, 5, находим оригинал :

 

1.2) Второй способ нахождения оригинала по известному изображению основан на использовании теорем разложения.

Пример 11. Найти функцию-оригинал, если ее изображение задано как

 

Решение. Здесь простой корень знаменателя, 3-кратный корень .

Используя формулы (9) и (10), имеем:

 

 

т. е.

1.3)  Используя свойства преобразования Лапласа. Рассмотрим предыдущий пример.

Пример 12. Найти функцию-оригинал, если ее изображение задано как

 

Решение: Представим как произведение и так как и , то, пользуясь свойством умножения изображений, имеем:

 

 

2) решение дифференциальных уравнений

Одним из важнейших применений операционного исчисления является решение линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентами, т.е. уравнения вида

…

где – заданные числа (коэффициенты уравнения), – заданная функция и – искомая (неизвестная) функция. Требуется решить задачу Коши, т.е. найти решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

 

где – произвольные заданные числа.

Предположим, что правая часть  есть функция-оригинал. Основные этапы решения задачи операционным методом:

1. Перейти от функций к их изображениям .
2. Используя свойство линейности преобразования Лапласа и теорему о дифференцировании оригинала, перейти от уравнения (12) относительно оригинала к уравнению относительно изображения :

 

Уравнение  (14) называется изображающим или операторным уравнением. Оно оказалось проще исходного уравнения (12), так как является линейным алгебраическим уравнением относительно .

3. Решить уравнение (14) относительно . С этой целью члены уравнения, содержащие , оставляют слева, а остальные переносят в правую часть:

 

Обозначим множитель  через :

 

Это характеристический многочлен  линейного дифференциального уравнения. Правую часть уравнения (15), за исключением слагаемого , обозначим через . является многочленом степени . Теперь уравнение (15) примет вид

 

откуда

 

Если начальные условия  нулевые, т.е. ….

4. От найденного изображения перейти к оригиналу , который и является решением задачи Коши.

Пример 13. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Согласно формуле 4 таблицы, . Пользуясь соотношениями 29, 30 таблицы, перейдем к операторному уравнению

 

откуда,

 

 

Полученное изображение является дробно-рациональной функцией, у которой степень числителя строго меньше степени знаменателя. Оригинал данной функции был найден в примере 11.

 

Полученная функция-оригинал является решением дифференциального уравнения лишь при , поскольку любая функция-оригинал равна нулю при . Но по теореме о существовании и единственности решения задачи Коши функция будет решением на всей числовой прямой, если ее определить по формуле (17) и при .

3)  применение интеграла Дюамеля в решение дифференциальных уравнении.

 Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение (12) с постоянным коэффициентом  при нулевых начальных условиях. Покажем, что если известно решение уравнения

 

с той же левой частью, что и в (12), и также при нулевых начальных условиях, то интеграл Дюамеля позволяет выписать решение уравнения (12). Для этого необходимо перейти от уравнений (12), (18) к соответствующим операторным уравнениям. Имеем , и в силу формулы     таблицы . Поскольку начальные условия нулевые, то функция в (16) равна нулю. Из (16) получаем

 

откуда  Теперь, применяя формулу Дюамеля (8), получим

 

Так как , то  

Метод решения дифференциальных уравнений, основанный на формуле Дюамеля, применяют в тех случаях, когда  возникают трудности при нахождении изображения правой части уравнения (12). Формула (19) удобна также, когда требуется решить несколько дифференциальных уравнений с нулевыми начальными условиями и одинаковыми левыми частями, но различаются правыми частями .

Пример 14. Используя интеграл Дюамеля, найти решение дифференциального уравнения

 

удовлетворяющее начальным  условиям

Решение. Применение интеграла Дюамеля в данном случае вызвано тем, что таблица не содержит изображения правой части уравнения. Решение состоит из следующих двух этапов.

1) Найти решение уравнения

 

с той же левой частью, что у заданного уравнения, и  также при нулевых начальных  условиях . С этой целью перейдем к операторному уравнению, пользуясь тем, что формулам 1, 29, 30 таблицы                   (здесь – изображение функции ):

 

Отсюда

 

Разложение полученной дроби  в сумму простейших дробей имеет  вид

 

Следовательно Получаем систему:

 

Из данной системы находим  неопределенные коэффициенты

. Получаем

 

Пользуясь формулами 1, 2, 13 таблицы с , имеем

 

2) Найдем решение исходного уравнения по формуле

 

где – правая часть исходного уравнения. Имеем

 

 

 

Итак,

 

4)  решение систем дифференциальных уравнении

Пусть нужно решить систему  из двух дифференциальных уравнении  с двумя неизвестными функциями  и заданными начальными условиями. Тогда от оригиналов переходят к их изображениям . От каждого уравнения системы переходят к операторному уравнению. Получается система операторных уравнений, являющихся системой линейных алгебраических уравнений относительно . Решив эту систему и найдя , восстанавливаем их оригиналы .

Пример 15. Найти решение дифференциальных уравнений

 

при начальных условиях .

Решение. Пользуясь соотношениями 1, 29 таблицы, перейдем к операторным уравнениям

 

Получили систему линейных уравнений относительно , решать которую можно различными способами: 1) выразить из второго уравнения и подставить в первое; 2) домножить второе уравнение на и сложить с первым; 3) использовать формулы Крамера. Решим систему последним способом.

Из коэффициентов при  составим определитель :

 

Последовательно заменяя  первый и второй столбцы этого  определителя столбцом из правых частей уравнений, получим, соответственно, определители :

 

 

 

 

Теперь  находятся по формулам Крамера:

 

Осталось от полученных изображений  перейти к оригиналам.

Разложим  в сумму простейших дробей:

 

Отсюда

 

Найдем неопределенные коэффициенты .

 

Откуда,

Таким образом,

 

По формулам 1, 2 таблицы и свойству линейности находим оригинал:

 

Найдем аналогично оригинал .

Разложим  в сумму простейших дробей:

 

Отсюда

 

Найдем неопределенные коэффициенты .

 

Откуда,

Таким образом,

 

По формулам  1, 2 таблицы и свойству линейности находим оригинал: